Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Com a condição inicial
Passo 2
Uma EDO da forma
é exata se satisfizer a condição:
Aqui, identificamos:
Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
Passo 4
Comparando as derivadas:
Como
Passo 5
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Uma abordagem comum é procurar um fator que depende apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar um fator que depende de
.
Passo 6
Assumindo que o fator integrante
depende apenas de
, multiplicamos a EDO por
:
A condição de exatidão agora será:
Passo 7
Calculando as derivadas:
Esquerda:
Esquerda:
Direita:
Igualando as duas:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Rearranjando:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Simplificando (absorvendo
Podemos escolher
para simplificar:
Passo 10
Multiplicando a EDO original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a EDO é exata.
Passo 11
Para resolver a EDO exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando em relação a
Passo 12
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a:
Portanto:
Isso implica que
Passo 13
A solução geral é dada por
, onde
é uma constante. Assim:
Multiplicando por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como
:
Passo 14
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a solução particular. Substituindo
e
:
Resposta
A solução particular da EDO é:
Exercícios relacionados
Usando o critério de Sylvester determine se as funções abaixo possuem máximo local, mínimo local e pontos de sela:
(10.3)
(10.3)
Seja
. Calcule, caso existam,
e
.
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.1) planos coordenados no octante e plano
(1.1) planos coordenados no
Analise a diferenciabilidade de
no ponto
da função