Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(x^4 + y^2) dx - x y dy = 0, y(2) = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:

Com a condição inicial . Nosso objetivo é verificar se essa EDO é exata. Se não for, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata, e então resolver a equação para encontrar a solução geral e a solução particular com a condição inicial.

Passo 2

Uma EDO da forma é exata se satisfizer a condição:

Aqui, identificamos:

Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :

Calculando :

Passo 4

Comparando as derivadas:

Como , a condição de exatidão não é satisfeita. Portanto, a EDO não é exata.

Passo 5

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Uma abordagem comum é procurar um fator que depende apenas de ou apenas de . Vamos tentar um fator que depende de .

Passo 6

Assumindo que o fator integrante depende apenas de , multiplicamos a EDO por :

A condição de exatidão agora será:

Passo 7

Calculando as derivadas:
Esquerda:

Direita:
Igualando as duas:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Rearranjando:

Passo 9

Integrando ambos os lados:

Simplificando (absorvendo em uma constante multiplicativa):
Podemos escolher para simplificar:

Passo 10

Multiplicando a EDO original pelo fator integrante :

Simplificando:
Agora, a EDO é exata.

Passo 11

Para resolver a EDO exata, encontramos uma função tal que:

Integrando em relação a :

Passo 12

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :

Igualando a:
Portanto:

Isso implica que , então é uma constante. Podemos ignorar essa constante na solução geral.

Passo 13

A solução geral é dada por , onde é uma constante. Assim:

Multiplicando por 2 para simplificar:
Podemos renomear como :

Passo 14

Aplicamos a condição inicial para encontrar a solução particular. Substituindo e :

Resposta

A solução particular da EDO é:

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