Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.1) planos coordenados no 1^0 octante e plano x+y+z=6 ; f(x, y, z)=3 x y

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaU 3xy , dx , dy , dz para o sólido U que está no primeiro octante e limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 6. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais múltiplas, especialmente em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração para cada variável ( x, y, z) e aplicar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido U. No primeiro octante, todos as coordenadas x, y e z são não negativas. O plano x + y + z = 6 corta os eixos nos pontos (6,0,0), (0,6,0) e (0,0,6). Assim, para qualquer valor de x, os limites de y e z dependem de x.

Passo 3

Definimos os limites de integração:
  • x varia de 0 a 6.
  • Para cada x, y varia de 0 a 6 - x.
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 a 6 - x - y.
Portanto, a integral fica:
integral0^6 integral0^6 - x integral0^6 - x - y 3xy , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos integrar em ordem: z, depois y, e por fim x.
  1. Integração em relação a z:
integral0^6 - x - y 3xy , dz = 3xy cdot z gr|0^6 - x - y = 3xy(6 - x - y)
  1. Integração em relação a y:
integral0^6 - x 3xy(6 - x - y) , dy = 3x integral0^6 - x y(6 - x - y) , dy
Expandindo a expressão dentro da integral:
3x integral0^6 - x (6y - xy - y^2) , dy
Integrando termo a termo:
3x [ 3y^2 - x2y^2 - 13y^3 ]0^6 - x
Substituindo y = 6 - x:
3x [ 3(6 - x)^2 - x2(6 - x)^2 - 13(6 - x)^3 ]
Simplificando:
3x cdot (6 - x)^32 = 3x(6 - x)^32
  1. Integração em relação a x:
integral0^6 3x(6 - x)^32 , dx = 32 integral0^6 x(6 - x)^3 , dx
Fazendo a substituição u = 6 - x, du = -dx, os limites se tornam de 6 a 0:
32 integral0^6 (6 - u)u^3 , du = 32 integral0^6 (6u^3 - u^4) , du
Integrando:
32 [ 6u^44 - u^55 ]0^6 = 32 [ 6 cdot 6^44 - 6^55 ]
Calculando os valores:
32 [ 6 cdot 12964 - 77765 ] = 32 [ 1944 - 1555.2 ] = 32 cdot 388.8 = 583.2
Convertendo para fração:
583.2 = 9725

Resposta

O valor da integral tripla é 9725.

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