Calcule as integrais triplas para o sólido limitado pelos objetos listados abaixo e para a apontada:
(1.1) planos coordenados no octante e plano
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla para o sólido que está no primeiro octante e limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais múltiplas, especialmente em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração para cada variável (, , ) e aplicar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido . No primeiro octante, todos as coordenadas , e são não negativas. O plano corta os eixos nos pontos , e . Assim, para qualquer valor de , os limites de e dependem de .
Passo 3
Definimos os limites de integração:
varia de a .
Para cada , varia de a .
Para cada par , varia de a .
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar em ordem: , depois , e por fim .
Integração em relação a :
Integração em relação a y:
integral0^6 - x 3xy(6 - x - y) , dy = 3x integral0^6 - x y(6 - x - y) , dy