[Análise dimensional + conversão de unidades] Um chuveiro elétrico oferece uma potência de aquecimento P=6000 W=6000 J / s, trabalhando sobre um fluxo volumétrico de água constante Phi=10 L / min que circula pelo mesmo (densidade da água rho=1 g / cm^3, calor específico da água c=1 cal /(g ^circ C), com 1 cal=4,184 J). Determine, utilizando-se da análise dimensional e dos possíveis fatores de conversão de unidades, a relação entre a variação de temperatura da água de saída De com relação à temperatura da água de entrada (em graus Celsius). Discuta se a relação obtida faz sentido com o que é intuitivamente esperado para o funcionamento de um chuveiro elétrico e com uma possível relação de proporcionalidade entre as diversas grandezas físicas. Se a água entrar nesse chuveiro a uma temperatura inicial T1=15^circ C, determine qual será a temperatura T2 de saída da mesma.

Passo 1

Aqui a gente tem um exercício de Análise Dimensional e Conversão de Unidades. A questão fala sobre um chuveiro elétrico que tem uma certa potência, um fluxo de água específico, e nos dá informações sobre a densidade e o calor específico da água. Nosso objetivo é descobrir como a temperatura da água varia quando ela passa pelo chuveiro, além de calcular a temperatura final se a água entra a 15°C.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
  • Potência ( ): É a quantidade de energia que o chuveiro usa por segundo. Aqui, .
  • Fluxo volumétrico ( ): É o volume de água que passa pelo chuveiro por minuto. Aqui, .
  • Densidade ( ): Massa por unidade de volume da água. Aqui, .
  • Calor específico ( ): Quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 grama de água em 1°C. Aqui, , e .
Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.

Passo 3

Conversão das unidades:
  1. Fluxo volumétrico ( 10 , L/min = 101000 , m^3/min = 0,01 , m^3/min ):
    0,01 , m^3/min div 60 , s/min = 0,0001667 , m^3/s
    Convertendo para segundos:
    1 , g/cm^3 = 1000 , kg/m^3
  2. Densidade ( 1 , cal/g°C = 4,184 , J/g°C = 4184 , J/kg°C ):
  3. Calor específico ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa de água que passa pelo chuveiro por segundo ( dotm = rho times Phi = 1000 , kg/m^3 times 0,0001667 , m^3/s = 0,1667 , kg/s ) usando a densidade e o fluxo volumétrico:

Passo 5

Sabemos que a potência ( P = dotm times c times De) está relacionada à energia transferida para a água, que depende da massa, do calor específico e da variação de temperatura ( De):
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
De
De

Passo 7

A variação de temperatura é de aproximadamente 8,61°C. Isso significa que a água sai do chuveiro com uma temperatura maior em 8,61°C em relação à temperatura de entrada.

Resposta

A variação de temperatura da água de saída é aproximadamente 8,61°C. Portanto, se a água entra no chuveiro a 15°C, ela sai a aproximadamente 23,61°C.

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