[Análise dimensional] Utilizando-se da análise dimensional e das equações de base para o cálculo das grandezas envolvidas, determine as unidades das seguintes grandezas físicas derivadas. Escreva também as unidades derivadas obtidas em unidades de base, ou seja, em função exclusivamente do metro, quilograma, segundo e do ampère [m, kg, s, A ]. Por causa deste fato, o SI também é conhecido como a) Viscosidade eta, a partir da lei de força para o arrasto viscoso FD sobre atuando numa esfera de raio R se movendo contra o fluido com uma velocidade relativa v: FD=6 pi eta R v. Obtenha a relação entre o cP (centipoise, submúltiplo do poise, que é a unidade de viscosidade normalmente utilizada no sistema CGS) e a unidade utilizada no SI (sistema internacional de unidades).
b) Condutividade térmica k, a partir da lei de condução térmica: P=k(T1-T2) A / L, onde P é o fluxo de energia térmica por unidade de tempo, T as temperaturas das paredes, A a área de sessão transversal de condução, e L e comprimento da parede.
c) Resistência elétrica R, a partir da lei de Ohm: U=R cdot I, onde U= diferença de potencial elétrico e I a corrente elétrica. Esta unidade tem um nome especial no SI, definido como Omega (escrito por extenso e lido como ohm, em homenagem a George Ohm, sendo curiosamente a única unidade do SI que tem como símbolo uma letra grega).
d) Diferença de potencial elétrico U, a partir da lei de força elétrica Fe=q E, onde E=-d U / d x= campo elétrico =- diferença de potencial elétrico / distância. Esta unidade tem um nome especial no SI, definindo o volt (em homenagem a Alessandro Volta), símbolo V.
e) Campo magnético B, a partir da lei de força magnética F mag =q times v times B, onde q é a carga elétrica (em C =A cdot s no SI ), v a velocidade e B o campo magnético. Esta unidade tem um nome especial no SI, definindo o T, escrito por extenso e lido como tesla, em homenagem a Nikola Tesla.
f) Momento de inércia I a partir da expressão EC=I cdot omega^2 / 2 para a energia cinética de rotação Ec escrita em função da velocidade angular omega (ou a partir da expressão EC=m cdot v^2 / 2 para a energia cinética em geral com a velocidade linear v=omega cdot r para uma partícula de massa m ). Obtenha o fator de conversão entre a unidade de momento de inércia no sistema CGS e a mesma unidade no sistema MKS.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos várias grandezas físicas derivadas e precisamos determinar suas unidades usando análise dimensional. Além disso, devemos expressar essas unidades em termos das unidades básicas do SI: metro , quilograma , segundo e ampère . Também vamos precisar converter algumas dessas unidades para o sistema CGS.

Parte a) Viscosidade

Passo 2

Primeiro, vamos focar na viscosidade FD = 6 pi eta R v . A lei de força para o arrasto viscoso é dada por:
Aqui, é a força de arrasto, é o raio da esfera e é a velocidade relativa.

Passo 3

Para encontrar as unidades de eta = FD6 pi R v , vamos reorganizar a equação para isolá-la:
Agora, vamos identificar as unidades de cada termo:
  • tem unidades de força, que no SI é o newton . E .
  • é um comprimento, então unidades de metros .
  • é velocidade, com unidades de metros por segundo .

Passo 4

Substituindo as unidades na expressão de [eta] = [kg cdot m cdot s^-2][m] cdot [m,s^-1] = kg cdot m cdot s^-2m^2 cdot s^-1 = kg cdot m^-1 cdot s^-1 :
Então, no SI, a unidade de viscosidade é .

Passo 5

Agora, vamos converter essa unidade para o sistema CGS, onde a viscosidade é medida em poise. Sabemos que:
1,poise = 0,1,kg cdot m^-1 cdot s^-1
Mas a questão pede em centipoise (cP), então:
1,cP = 0,01,poise = 0,001,kg cdot m^-1 cdot s^-1

Passo 6

Agora vamos para a condutividade térmica P = k ( T1 - T2 ) AL . A lei de condução térmica é dada por:
Onde é o fluxo de energia térmica por unidade de tempo, são as temperaturas, é a área de seção transversal e é o comprimento da parede.

Passo 7

Vamos reorganizar a fórmula para isolar k = P cdot L( T1 - T2 ) cdot A :
Agora, identificamos as unidades de cada termo:
  • tem unidades de potência, que no SI é o watt , onde e .
  • é comprimento, unidades de metros .
  • é temperatura, no SI em kelvin .
  • é área, unidades de metros quadrados .

Passo 8

Substituindo as unidades na expressão de [k] = [kg cdot m^2 cdot s^-3] cdot [m][K] cdot [m^2] = kg cdot m^3 cdot s^-3K cdot m^2 = kg cdot m^-1 cdot s^-3 cdot K^-1 :
Então, no SI, a unidade de condutividade térmica é .

Passo 9

No sistema CGS, a condutividade t��rmica é medida em 1,cal = 4,184,J . Precisamos converter para SI:
1,cm = 0,01,m
1,cal cdot s^-1 cdot cm^-1 cdot K^-1 = 4,184,kg cdot m^2 cdot s^-3 cdot s^-1 cdot 100,m^-1 cdot K^-1 = 418,4,kg cdot m^-1 cdot s^-3 cdot K^-1
Então:

Passo 10

Vamos analisar a resistência elétrica U = R cdot I . A lei de Ohm é:
Onde é a diferença de potencial elétrico e é a corrente elétrica.

Passo 11

Isolando R = UI :
Agora, identificamos as unidades de cada termo:
  • é a diferença de potencial, unidade de volt .
  • é corrente elétrica, unidade de ampère .

Passo 12

Expressando 1,V = 1,kg cdot m^2 cdot s^-3 cdot A^-1 em termos das unidades básicas:
[R] = [kg cdot m^2 cdot s^-3 cdot A^-1][A] = kg cdot m^2 cdot s^-3 cdot A^-2
Então, a unidade de resistência é:
No SI, a resistência elétrica é medida em ohms .

Passo 13

O ohm é a única unidade no SI com um símbolo de letra grega (Ω).

Passo 14

Agora vamos para a diferença de potencial elétrico Fe = q E . A lei de força elétrica é:
Onde é a força elétrica, é a carga elétrica e é o campo elétrico.

Passo 15

Sabemos que:
E = -d Ud x
Então, rearranjando:
U = -integral E cdot dx
Para unidades, consideramos:
[U] = [Fe] cdot [x][q]
  • tem unidades de força .
  • é comprimento .
  • é carga elétrica , onde .

Passo 16

Expressando [U] = [kg cdot m cdot s^-2] cdot [m][A cdot s] = kg cdot m^2 cdot s^-2A cdot s = kg cdot m^2 cdot s^-3 cdot A^-1 em termos das unidades básicas:
No SI, a diferença de potencial é medida em volts .

Passo 17

O volt é a unidade especial no SI para diferença de potencial elétrico, em homenagem a Alessandro Volta.

Passo 18

Vamos para o campo magnético Fmag = q times v times B . A lei de força magnética é:
Onde é a carga elétrica, é a velocidade e é o campo magnético.

Passo 19

A expressão geral para a força magnética sobre uma carga em movimento é:
Fmag = q (v times B)
Isolando B = Fmagq cdot v :
Identificando as unidades:
  • tem unidades de força .
  • é carga elétrica .
  • é velocidade .

Passo 20

Substituindo as unidades na expressão de [B] = [kg cdot m cdot s^-2][A cdot s] cdot [m cdot s^-1] = kg cdot m cdot s^-2A cdot s cdot m cdot s^-1 = kg cdot s^-2 cdot A^-1 :
No SI, o campo magnético é medido em tesla .

Passo 21

O tesla é a unidade especial no SI para campo magnético, em homenagem a Nikola Tesla.

Passo 22

Por fim, vamos para o momento de inércia EC = I cdot omega^22 . A energia cinética de rotação é dada por:
EC = m cdot v^22
Onde é a velocidade angular. Também podemos usar:
com .

Passo 23

Vamos isolar I = 2 EComega^2 na primeira expressão:
Identificando as unidades:
  • é energia cinética, unidades de joule , onde .
  • é velocidade angular, unidades de radiano por segundo . Como radiano é adimensional, consideramos .

Passo 24

Substituindo as unidades na expressão de [I] = [kg cdot m^2 cdot s^-2][s^-1]^2 = kg cdot m^2 cdot s^-2s^-2 = kg cdot m^2 :
Então, no SI, a unidade de momento de inércia é .

Passo 25

No sistema CGS, a unidade de momento de inércia é 1,g = 0,001,kg . Para converter para o sistema MKS (SI), usamos:
1,cm = 0,01,m
1,g cdot cm^2 = 0,001,kg cdot (0,01,m)^2 = 0,001,kg cdot 0,0001,m^2 = 1 times 10^-7,kg cdot m^2
Então:

Resposta

A unidade de momento de inércia no SI é 1,g cdot cm^2 = 1 times 10^-7,kg cdot m^2 . O fator de conversão entre o sistema CGS e o SI é:

Resumo Final

Utilizamos a análise dimensional para determinar as unidades das grandezas físicas derivadas em termos das unidades básicas do SI e estabelecemos as relações de conversão necessárias com o sistema CGS. Cada grandeza foi analisada individualmente, obtendo-se suas expressões em unidades base e as conversões pertinentes entre os sistemas de unidades.

Exercícios relacionados