[Análise dimensional] Um corpo de massa m é abandonado em queda livre de uma altura h do solo sob a ação da aceleração da gravidade local g. Estime a dependência do tempo de queda t em função das variáveis físicas do problema. Obtenha a equação exata para este tempo de queda usando a equação do movimento uniformemente variado e confirme que a relação obtida a partir das equações de movimento é dimensionalmente compatível com a relação obtida pela análise dimensional. Obtenha o valor deste tempo de queda para um corpo de 1,0 kg de massa abandonado a 1,0 m do solo numa localidade onde a aceleração da gravidade vale 9,8 m / s^2. Discuta a dependência do tempo de queda com a massa do corpo abandonado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo com massa que é largado de uma altura e vai cair livremente sob a ação da gravidade . Nosso objetivo é descobrir como o tempo de queda depende dessas variáveis físicas: , e . Para isso, vamos usar análise dimensional e as equações do movimento uniformemente variado. Ah, e vamos conferir se tudo está dimensionadamente compatível e, no final, calcular o tempo de queda para um caso específico e ver como a massa influencia nesse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma análise dimensional pra entender como t = k cdot h^a cdot g^b pode depender de [T] = [L]^a cdot [LT^-2]^b = L^a+b cdot T^-2b e t propto h^1/2 cdot g^-1/2 . Queremos expressar t propto raizhg em termos de e .
Sabemos que:
  • tem dimensão de comprimento:
  • tem dimensão de aceleração:
  • tem dimensão de tempo:
Vamos supor que depende de e de forma que:
onde é uma constante adimensional, e e são expoentes que precisamos descobrir.
Substituindo as dimensões:
Agora igualamos as dimensões de ambos os lados:
  • Para :
  • Para :
Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação:
  • Substituindo na primeira:
Então, a relação dimensional é:
ou seja,

Passo 3

Agora, vamos usar a equação do movimento uniformemente variado para encontrar a expressão exata de s = v0 t + 12 g t^2 . Quando um objeto é largado (com velocidade inicial zero) e sofre aceleração constante h = 12 g t^2 , a equação que relaciona a posição t^2 = 2hg com o tempo t = raiz2hg é:
t = raiz2hg
Como (porque o corpo foi abandonado), temos:
Queremos isolar :
Então, a equação exata para o tempo de queda é:

Passo 4

Vamos conferir se a relação obtida pela equação do movimento está dimensionalmente compatível com a que fizemos na análise dimensional.
Da equação exata:
t = raiz2hg
Dimensionalmente:
  • hg tem dimensão
  • tem dimensão
Então dentro da raiz:
tem dimensão
A raiz de é , que é a dimensão correta para . Portanto, está tudo certinho!

Passo 5

Vamos calcular o tempo de queda para um corpo de massa t = raiz2hg , altura t = raiz2 times 1,09,8 e aceleração da gravidade t = raiz29,8 .
Usando a equação exata:
t = raiz0,2041
Substituindo os valores:
t approx 0,451 , segundos
Então, o tempo de queda é aproximadamente segundos.

Passo 6

Por último, vamos discutir como o tempo de queda t = raiz2hg depende da massa do corpo. Observando a equação exata:
Percebemos que nem aparece na equação. Isso significa que, teoricamente, o tempo de queda é independente da massa do objeto. Todos os corpos, independentemente da sua massa, cairiam com o mesmo tempo de queda se desprezarmos a resistência do ar.

Resposta

O tempo de queda depende das variáveis físicas e na relação . Para um corpo de 1,0 kg abandonado de 1,0 m de altura sob a aceleração da gravidade de , o tempo de queda é aproximadamente segundos. Além disso, o tempo de queda é independente da massa do corpo.

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