[Análise dimensional] Um corpo de massa é abandonado em queda livre de uma altura do solo sob a ação da aceleração da gravidade local . Estime a dependência do tempo de queda em função das variáveis físicas do problema. Obtenha a equação exata para este tempo de queda usando a equação do movimento uniformemente variado e confirme que a relação obtida a partir das equações de movimento é dimensionalmente compatível com a relação obtida pela análise dimensional. Obtenha o valor deste tempo de queda para um corpo de de massa abandonado a do solo numa localidade onde a aceleração da gravidade vale . Discuta a dependência do tempo de queda com a massa do corpo abandonado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo com massa que é largado de uma altura e vai cair livremente sob a ação da gravidade . Nosso objetivo é descobrir como o tempo de queda depende dessas variáveis físicas: , e . Para isso, vamos usar análise dimensional e as equações do movimento uniformemente variado. Ah, e vamos conferir se tudo está dimensionadamente compatível e, no final, calcular o tempo de queda para um caso específico e ver como a massa influencia nesse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma análise dimensional pra entender como pode depender de e . Queremos expressar em termos de e .
Sabemos que:
  • tem dimensão de comprimento:
  • tem dimensão de aceleração:
  • tem dimensão de tempo:
Vamos supor que depende de e de forma que:
onde é uma constante adimensional, e e são expoentes que precisamos descobrir.
Substituindo as dimensões:
Agora igualamos as dimensões de ambos os lados:
  • Para :
  • Para :
Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação:
  • Substituindo na primeira:
Então, a relação dimensional é:
ou seja,

Passo 3

Agora, vamos usar a equação do movimento uniformemente variado para encontrar a expressão exata de . Quando um objeto é largado (com velocidade inicial zero) e sofre aceleração constante , a equação que relaciona a posição com o tempo é:
Como (porque o corpo foi abandonado), temos:
Queremos isolar :
Então, a equação exata para o tempo de queda é:

Passo 4

Vamos conferir se a relação obtida pela equação do movimento está dimensionalmente compatível com a que fizemos na análise dimensional.
Da equação exata:
Dimensionalmente:
  • tem dimensão
  • tem dimensão
Então dentro da raiz:
tem dimensão
A raiz de é , que é a dimensão correta para . Portanto, está tudo certinho!

Passo 5

Vamos calcular o tempo de queda para um corpo de massa , altura e aceleração da gravidade .
Usando a equação exata:
Substituindo os valores:
Então, o tempo de queda é aproximadamente segundos.

Passo 6

Por último, vamos discutir como o tempo de queda depende da massa do corpo. Observando a equação exata:
Percebemos que nem aparece na equação. Isso significa que, teoricamente, o tempo de queda é independente da massa do objeto. Todos os corpos, independentemente da sua massa, cairiam com o mesmo tempo de queda se desprezarmos a resistência do ar.

Resposta

O tempo de queda depende das variáveis físicas e na relação . Para um corpo de 1,0 kg abandonado de 1,0 m de altura sob a aceleração da gravidade de , o tempo de queda é aproximadamente segundos. Além disso, o tempo de queda é independente da massa do corpo.

Exercícios relacionados

[Análise dimensional] Uma partícula de massa descrevendo um movimento circular uniforme numa trajetória circular de raio com velocidade escalar está sujeita a uma força que aponta para o centro da trajetória assim qualificada como força centrípeta. Proponha uma equação para a força centrípeta através da análise dimensional das grandezas que devem influenciar no valor da mesma. Verifique se a expressão obtida está correta.
Considere um corpo em queda livre, na aus^encia de atrito com ar, por exemplo, uma bola caindo numa c^amara de alto v
para intervalos de tempo
tendendo a zero,
(a) Considerando o intervalo de tempo , determine a velocidade m
(b) Considerando o intervalo de tempo , determine a velocidade m
© Considerando o intervalo de tempo , determine a velocidade m
(d) Considerando o intervalo de tempo , determine a velocidade m
(e) A partir dos c
[Análise dimensional] Utilizando-se da análise dimensional e das equações de base para o cálculo das grandezas envolvidas, determine as unidades das seguintes grandezas físicas derivadas. Escreva também as unidades derivadas obtidas em unidades de base, ou seja, em função exclusivamente do metro, quilograma, segundo e do ampère ]. Por causa deste fato, o SI também é conhecido como a) Viscosidade , a partir da lei de força para o arrasto viscoso sobre atuando numa esfera de raio se movendo contra o fluido com uma velocidade relativa . Obtenha a relação entre o cP (centipoise, submúltiplo do poise, que é a unidade de viscosidade normalmente utilizada no sistema CGS) e a unidade utilizada no SI (sistema internacional de unidades).
b) Condutividade térmica , a partir da lei de condução térmica: , onde é o fluxo de energia térmica por unidade de tempo, as temperaturas das paredes, a área de sessão transversal de condução, e e comprimento da parede.
c) Resistência elétrica , a partir da lei de Ohm: , onde diferença de potencial elétrico e a corrente elétrica. Esta unidade tem um nome especial no SI, definido como (escrito por extenso e lido como ohm, em homenagem a George Ohm, sendo curiosamente a única unidade do SI que tem como símbolo uma letra grega).
d) Diferença de potencial elétrico , a partir da lei de força elétrica , onde campo elétrico diferença de potencial elétrico / distância. Esta unidade tem um nome especial no SI, definindo o volt (em homenagem a Alessandro Volta), símbolo V.
e) Campo magnético , a partir da lei de força magnética , onde é a carga elétrica (em C no SI ), a velocidade e o campo magnético. Esta unidade tem um nome especial no SI, definindo o T, escrito por extenso e lido como tesla, em homenagem a Nikola Tesla.
f) Momento de inércia a partir da expressão para a energia cinética de rotação escrita em função da velocidade angular (ou a partir da expressão para a energia cinética em geral com a velocidade linear para uma partícula de massa ). Obtenha o fator de conversão entre a unidade de momento de inércia no sistema CGS e a mesma unidade no sistema MKS.
[Análise dimensional + conversão de unidades] Um chuveiro elétrico oferece uma potência de aquecimento , trabalhando sobre um fluxo volumétrico de água constante que circula pelo mesmo (densidade da água , calor específico da água , com . Determine, utilizando-se da análise dimensional e dos possíveis fatores de conversão de unidades, a relação entre a variação de temperatura da água de saída com relação à temperatura da água de entrada (em graus Celsius). Discuta se a relação obtida faz sentido com o que é intuitivamente esperado para o funcionamento de um chuveiro elétrico e com uma possível relação de proporcionalidade entre as diversas grandezas físicas. Se a água entrar nesse chuveiro a uma temperatura inicial , determine qual será a temperatura de saída da mesma.