[Análise dimensional] Um corpo de massa
é abandonado em queda livre de uma altura
do solo sob a ação da aceleração da gravidade local
. Estime a dependência do tempo de queda
em função das variáveis físicas do problema. Obtenha a equação exata para este tempo de queda usando a equação do movimento uniformemente variado e confirme que a relação obtida a partir das equações de movimento é dimensionalmente compatível com a relação obtida pela análise dimensional. Obtenha o valor deste tempo de queda para um corpo de
de massa abandonado a
do solo numa localidade onde a aceleração da gravidade vale
. Discuta a dependência do tempo de queda com a massa do corpo abandonado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um corpo com massa
que é largado de uma altura
e vai cair livremente sob a ação da gravidade
. Nosso objetivo é descobrir como o tempo de queda
depende dessas variáveis físicas:
,
e
. Para isso, vamos usar análise dimensional e as equações do movimento uniformemente variado. Ah, e vamos conferir se tudo está dimensionadamente compatível e, no final, calcular o tempo de queda para um caso específico e ver como a massa influencia nesse tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma análise dimensional pra entender como
pode depender de
e
. Queremos expressar
em termos de
e
.
Sabemos que:
-
tem dimensão de comprimento: -
tem dimensão de aceleração: -
tem dimensão de tempo:
Vamos supor que
depende de
e
de forma que:
onde
é uma constante adimensional, e
e
são expoentes que precisamos descobrir.
Substituindo as dimensões:
Agora igualamos as dimensões de ambos os lados:
- Para
: - Para
:
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação:
- Substituindo na primeira:
⇒
Então, a relação dimensional é:
ou seja,
Passo 3
Agora, vamos usar a equação do movimento uniformemente variado para encontrar a expressão exata de
. Quando um objeto é largado (com velocidade inicial zero) e sofre aceleração constante
, a equação que relaciona a posição
com o tempo
é:
Como
(porque o corpo foi abandonado), temos:
Queremos isolar
:
Então, a equação exata para o tempo de queda é:
Passo 4
Vamos conferir se a relação obtida pela equação do movimento está dimensionalmente compatível com a que fizemos na análise dimensional.
Da equação exata:
Dimensionalmente:
-
tem dimensão -
tem dimensão
Então dentro da raiz:
A raiz de
é
, que é a dimensão correta para
. Portanto, está tudo certinho!
Passo 5
Vamos calcular o tempo de queda para um corpo de massa
, altura
e aceleração da gravidade
.
Usando a equação exata:
Substituindo os valores:
Então, o tempo de queda é aproximadamente
segundos.
Passo 6
Por último, vamos discutir como o tempo de queda
depende da massa
do corpo. Observando a equação exata:
Percebemos que
nem aparece na equação. Isso significa que, teoricamente, o tempo de queda é independente da massa do objeto. Todos os corpos, independentemente da sua massa, cairiam com o mesmo tempo de queda se desprezarmos a resistência do ar.
Resposta
O tempo de queda
depende das variáveis físicas
e
na relação
. Para um corpo de 1,0 kg abandonado de 1,0 m de altura sob a aceleração da gravidade de
, o tempo de queda é aproximadamente
segundos. Além disso, o tempo de queda é independente da massa do corpo.