[Análise dimensional] Um corpo de massa é abandonado em queda livre de uma altura do solo sob a ação da aceleração da gravidade local . Estime a dependência do tempo de queda em função das variáveis físicas do problema. Obtenha a equação exata para este tempo de queda usando a equação do movimento uniformemente variado e confirme que a relação obtida a partir das equações de movimento é dimensionalmente compatível com a relação obtida pela análise dimensional. Obtenha o valor deste tempo de queda para um corpo de de massa abandonado a do solo numa localidade onde a aceleração da gravidade vale . Discuta a dependência do tempo de queda com a massa do corpo abandonado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um corpo com massa que é largado de uma altura e vai cair livremente sob a ação da gravidade . Nosso objetivo é descobrir como o tempo de queda depende dessas variáveis físicas: , e . Para isso, vamos usar análise dimensional e as equações do movimento uniformemente variado. Ah, e vamos conferir se tudo está dimensionadamente compatível e, no final, calcular o tempo de queda para um caso específico e ver como a massa influencia nesse tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma análise dimensional pra entender como pode depender de e . Queremos expressar em termos de e .
Sabemos que:
tem dimensão de comprimento:
tem dimensão de aceleração:
tem dimensão de tempo:
Vamos supor que depende de e de forma que:
onde é uma constante adimensional, e e são expoentes que precisamos descobrir.
Substituindo as dimensões:
Agora igualamos as dimensões de ambos os lados:
Para :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira: ⇒
Então, a relação dimensional é:
ou seja,
Passo 3
Agora, vamos usar a equação do movimento uniformemente variado para encontrar a expressão exata de . Quando um objeto é largado (com velocidade inicial zero) e sofre aceleração constante , a equação que relaciona a posição com o tempo é:
Como (porque o corpo foi abandonado), temos:
Queremos isolar :
Então, a equação exata para o tempo de queda é:
Passo 4
Vamos conferir se a relação obtida pela equação do movimento está dimensionalmente compatível com a que fizemos na análise dimensional.
Da equação exata:
Dimensionalmente:
tem dimensão
tem dimensão
Então dentro da raiz:
tem dimensão
A raiz de é , que é a dimensão correta para . Portanto, está tudo certinho!
Passo 5
Vamos calcular o tempo de queda para um corpo de massa , altura e aceleração da gravidade .
Usando a equação exata:
Substituindo os valores:
Então, o tempo de queda é aproximadamente segundos.
Passo 6
Por último, vamos discutir como o tempo de queda depende da massa do corpo. Observando a equação exata:
Percebemos que nem aparece na equação. Isso significa que, teoricamente, o tempo de queda é independente da massa do objeto. Todos os corpos, independentemente da sua massa, cairiam com o mesmo tempo de queda se desprezarmos a resistência do ar.
Resposta
O tempo de queda depende das variáveis físicas e na relação . Para um corpo de 1,0 kg abandonado de 1,0 m de altura sob a aceleração da gravidade de , o tempo de queda é aproximadamente segundos. Além disso, o tempo de queda é independente da massa do corpo.