Uma partícula se move obedecendo à seguinte equação horária para a velocidade instantânea:
onde é o tempo e representam constantes físicas independentes do tempo.

Pede-se:

a) Com o auxílio da análise dimensional, determine as unidades das constantes no sistema internacional de unidades (SI).
b) Determine a equação horária para a aceleração deste sistema. Mostre que as unidades para a aceleração são como esperado para as unidades físicas determinadas para as constantes .
c) Determine a equação horária para a posição deste sistema. Mostre que as unidades para a posição são como o esperado para o sistema de unidades escolhido.
d) Faça gráficos (utilizando o papel milimetrado ou com a ajuda de um software computacional) para as três grandezas do movimento: posição, velocidade e aceleração, em função do tempo para coeficientes com os seguintes valores numéricos
quando escritos no SI e para instantes contidos num intervalo de tempo entre e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos uma equação para a velocidade de uma partícula em função do tempo:
O conteúdo principal aqui é cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Para resolver as partes a, b e c, vamos precisar utilizar análise dimensional, cálculo derivativo e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Análise dimensional das constantes
Vamos determinar as unidades das constantes , e usando análise dimensional no Sistema Internacional (SI).
Sabemos que a velocidade tem unidades de metros por segundo (m/s).
A equação é:
Cada termo do lado direito deve ter as mesmas unidades que , ou seja, m/s.
  • : multiplicado por tempo ( , que tem unidade de segundos, s) deve resultar em m/s.
    Então:
  • : multiplicado por deve resultar em m/s.
    Então:
  • : multiplicado por deve resultar em m/s.
    Então:

Passo 3

Parte b: Equação horária para a aceleração
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar :
Derivando:
Verificando as unidades:
  • tem unidades de m/s².
  • :
  • :
Todos os termos têm unidades de m/s², o que está de acordo com as unidades esperadas para aceleração.

Passo 4

Parte c: Equação horária para a posição
A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Vamos integrar :
Integrando:
Vamos considerar para simplificar (posição inicial zero):
Verificando as unidades:
  • :
  • :
  • :
  • :
Todos os termos têm unidades de metros (m), como deve ser para posição.

Passo 5

Parte d: Gráficos das grandezas do movimento
Embora eu não possa desenhar os gráficos aqui, vou te orientar sobre como fazer:
  1. Escolha um software: Você pode usar Excel, Google Sheets, Desmos ou qualquer outro programa de plotagem.
  2. Defina o intervalo de tempo: De s a s.
  3. Use os valores fornecidos:
  4. Calcule as grandezas:
    • Velocidade:
    • Aceleração:
    • Posição:
  5. Plote cada função: Faça três gráficos separados, um para posição vs tempo, outro para velocidade vs tempo e outro para aceleração vs tempo.

Resposta

Finalizando, determinamos as unidades das constantes:
Também obtivemos as equações para aceleração e posição:
E orientamos sobre como plotar os gráficos das grandezas do movimento com os valores fornecidos.

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