Uma partícula se move obedecendo à seguinte equação horária para a velocidade instantânea:
v(t)=v0+alpha t+beta t^2+gamma t^3
onde t é o tempo e alpha, beta, gamma representam constantes físicas independentes do tempo.

Pede-se:

a) Com o auxílio da análise dimensional, determine as unidades das constantes alpha, beta, gamma no sistema internacional de unidades (SI).
b) Determine a equação horária para a aceleração deste sistema. Mostre que as unidades para a aceleração são como esperado para as unidades físicas determinadas para as constantes alpha, beta, gamma.
c) Determine a equação horária para a posição deste sistema. Mostre que as unidades para a posição são como o esperado para o sistema de unidades escolhido.
d) Faça gráficos (utilizando o papel milimetrado ou com a ajuda de um software computacional) para as três grandezas do movimento: posição, velocidade e aceleração, em função do tempo para coeficientes com os seguintes valores numéricos
v0 /[v0]=-6,0 alpha /[alpha]=11,0 beta /[beta]=-6,0 gamma /[gamma]=1,0
quando escritos no SI e para instantes contidos num intervalo de tempo entre t=0,0 s e t=4,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos uma equação para a velocidade de uma partícula em função do tempo:
v(t) = v0 + alpha t + beta t^2 + gamma t^3
O conteúdo principal aqui é cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Para resolver as partes a, b e c, vamos precisar utilizar análise dimensional, cálculo derivativo e integração. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Análise dimensional das constantes
Vamos determinar as unidades das constantes alpha, beta e gamma usando análise dimensional no Sistema Internacional (SI).
Sabemos que a velocidade v(t) tem unidades de metros por segundo (m/s).
A equação é:
v(t) = v0 + alpha t + beta t^2 + gamma t^3
Cada termo do lado direito deve ter as mesmas unidades que v(t), ou seja, m/s.
  • alpha t: alpha multiplicado por tempo ( t, que tem unidade de segundos, s) deve resultar em m/s.
    Então:
    [alpha] times [t] = ms [alpha] = ms div s = ms^2
  • beta t^2: beta multiplicado por t^2 deve resultar em m/s.
    Então:
    [beta] times [t^2] = ms [beta] = ms div s^2 = ms^3
  • gamma t^3: gamma multiplicado por t^3 deve resultar em m/s.
    Então:
    [gamma] times [t^3] = ms [gamma] = ms div s^3 = ms^4

Passo 3

Parte b: Equação horária para a aceleração
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar v(t):
v(t) = v0 + alpha t + beta t^2 + gamma t^3
Derivando:
a(t) = dvdt = alpha + 2beta t + 3gamma t^2
Verificando as unidades:
  • alpha tem unidades de m/s².
  • 2beta t: [beta] times [t] = ms^3 times s = ms^2
  • 3gamma t^2: [gamma] times [t^2] = ms^4 times s^2 = ms^2
Todos os termos têm unidades de m/s², o que está de acordo com as unidades esperadas para aceleração.

Passo 4

Parte c: Equação horária para a posição
A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Vamos integrar v(t):
v(t) = v0 + alpha t + beta t^2 + gamma t^3
Integrando:
s(t) = integral v(t) , dt = v0t + alpha2 t^2 + beta3 t^3 + gamma4 t^4 + s0
Vamos considerar s0 = 0 para simplificar (posição inicial zero):
s(t) = v0t + alpha2 t^2 + beta3 t^3 + gamma4 t^4
Verificando as unidades:
  • v0t: [v0] times [t] = ms times s = m
  • alpha2 t^2: [alpha] times [t^2] = ms^2 times s^2 = m
  • beta3 t^3: [beta] times [t^3] = ms^3 times s^3 = m
  • gamma4 t^4: [gamma] times [t^4] = ms^4 times s^4 = m
Todos os termos têm unidades de metros (m), como deve ser para posição.

Passo 5

Parte d: Gráficos das grandezas do movimento
Embora eu não possa desenhar os gráficos aqui, vou te orientar sobre como fazer:
  1. Escolha um software: Você pode usar Excel, Google Sheets, Desmos ou qualquer outro programa de plotagem.
  2. Defina o intervalo de tempo: De t = 0 s a t = 4 s.
  3. Use os valores fornecidos: v0 &= -6,0 , m/s alpha &= 11,0 , m/s^2 beta &= -6,0 , m/s^3 gamma &= 1,0 , m/s^4
  4. Calcule as grandezas:
    • Velocidade: v(t) = -6,0 + 11,0,t - 6,0,t^2 + 1,0,t^3
    • Aceleração: a(t) = 11,0 + 2(-6,0)t + 3(1,0)t^2 = 11,0 - 12,0,t + 3,0,t^2
    • Posição: s(t) = -6,0,t + 11,02 t^2 + -6,03 t^3 + 1,04 t^4
  5. Plote cada função: Faça três gráficos separados, um para posição vs tempo, outro para velocidade vs tempo e outro para aceleração vs tempo.

Resposta

Finalizando, determinamos as unidades das constantes:
[alpha] = ms^2, [beta] = ms^3, [gamma] = ms^4
Também obtivemos as equações para aceleração e posição:
a(t) = alpha + 2beta t + 3gamma t^2
s(t) = v0t + alpha2 t^2 + beta3 t^3 + gamma4 t^4
E orientamos sobre como plotar os gráficos das grandezas do movimento com os valores fornecidos.

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