[Análise dimensional] Uma partícula de massa descrevendo um movimento circular uniforme numa trajetória circular de raio com velocidade escalar está sujeita a uma força que aponta para o centro da trajetória assim qualificada como força centrípeta. Proponha uma equação para a força centrípeta através da análise dimensional das grandezas que devem influenciar no valor da mesma. Verifique se a expressão obtida está correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão sobre força centrípeta. Basicamente, uma partícula de massa m está se movendo em um círculo com raio R e velocidade v, e a força que mantém ela nessa trajetória é a força centrípeta. Nosso objetivo é descobrir uma equação para essa força usando análise dimensional, que é uma maneira de verificar se as unidades nas nossas fórmulas estão corretas. Para isso, vamos precisar entender as grandezas envolvidas: massa, raio, velocidade e, claro, a própria força.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a força centrípeta F_C depende da massa m, do raio R e da velocidade v. Então, podemos escrever uma relação geral assim:
Aqui, k é uma constante sem dimensão, e a, b, c são os expoentes que precisamos encontrar usando análise dimensional.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das dimensões de cada grandeza envolvida:
  • Força (F_C):
  • Massa (m):
  • Raio ®:
  • Velocidade (v):

Passo 4

A análise dimensional nos diz que as dimensões dos dois lados da equação devem ser iguais. Então, vamos igualar as dimensões:
Simplificando o lado direito:
Agora, igualamos os expoentes das mesmas dimensões:
  1. Para massa (M):
  2. Para comprimento (L):
  3. Para tempo (T):

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. Substituindo na segunda equação: , então .

Passo 6

Agora que temos os valores dos expoentes, substituímos de volta na nossa equação inicial:
Como k é uma constante sem dimensão, podemos absorvê-la na igualdade, ficando:

Resposta

A equação para a força centrípeta é:

Exercícios relacionados

Considere um corpo em queda livre, na aus^encia de atrito com ar, por exemplo, uma bola caindo numa c^amara de alto v
para intervalos de tempo
tendendo a zero,
(a) Considerando o intervalo de tempo , determine a velocidade m
(b) Considerando o intervalo de tempo , determine a velocidade m
© Considerando o intervalo de tempo , determine a velocidade m
(d) Considerando o intervalo de tempo , determine a velocidade m
(e) A partir dos c
O lançamento foi realizado em um terreno plano de resistência do ar desprezivel. Nessas condições, determine, © O vetor posiçào no instante em que o projétil atinge o solo. ( 1,0 ponto).
[Análise dimensional] Um corpo de massa é abandonado em queda livre de uma altura do solo sob a ação da aceleração da gravidade local . Estime a dependência do tempo de queda em função das variáveis físicas do problema. Obtenha a equação exata para este tempo de queda usando a equação do movimento uniformemente variado e confirme que a relação obtida a partir das equações de movimento é dimensionalmente compatível com a relação obtida pela análise dimensional. Obtenha o valor deste tempo de queda para um corpo de de massa abandonado a do solo numa localidade onde a aceleração da gravidade vale . Discuta a dependência do tempo de queda com a massa do corpo abandonado.
[Análise dimensional] Utilizando-se da análise dimensional e das equações de base para o cálculo das grandezas envolvidas, determine as unidades das seguintes grandezas físicas derivadas. Escreva também as unidades derivadas obtidas em unidades de base, ou seja, em função exclusivamente do metro, quilograma, segundo e do ampère ]. Por causa deste fato, o SI também é conhecido como a) Viscosidade , a partir da lei de força para o arrasto viscoso sobre atuando numa esfera de raio se movendo contra o fluido com uma velocidade relativa . Obtenha a relação entre o cP (centipoise, submúltiplo do poise, que é a unidade de viscosidade normalmente utilizada no sistema CGS) e a unidade utilizada no SI (sistema internacional de unidades).
b) Condutividade térmica , a partir da lei de condução térmica: , onde é o fluxo de energia térmica por unidade de tempo, as temperaturas das paredes, a área de sessão transversal de condução, e e comprimento da parede.
c) Resistência elétrica , a partir da lei de Ohm: , onde diferença de potencial elétrico e a corrente elétrica. Esta unidade tem um nome especial no SI, definido como (escrito por extenso e lido como ohm, em homenagem a George Ohm, sendo curiosamente a única unidade do SI que tem como símbolo uma letra grega).
d) Diferença de potencial elétrico , a partir da lei de força elétrica , onde campo elétrico diferença de potencial elétrico / distância. Esta unidade tem um nome especial no SI, definindo o volt (em homenagem a Alessandro Volta), símbolo V.
e) Campo magnético , a partir da lei de força magnética , onde é a carga elétrica (em C no SI ), a velocidade e o campo magnético. Esta unidade tem um nome especial no SI, definindo o T, escrito por extenso e lido como tesla, em homenagem a Nikola Tesla.
f) Momento de inércia a partir da expressão para a energia cinética de rotação escrita em função da velocidade angular (ou a partir da expressão para a energia cinética em geral com a velocidade linear para uma partícula de massa ). Obtenha o fator de conversão entre a unidade de momento de inércia no sistema CGS e a mesma unidade no sistema MKS.