[Análise dimensional] Uma partícula de massa m descrevendo um movimento circular uniforme numa trajetória circular de raio R com velocidade escalar v está sujeita a uma força que aponta para o centro da trajetória assim qualificada como força centrípeta. Proponha uma equação para a força centrípeta FC=f(m, R, v) através da análise dimensional das grandezas que devem influenciar no valor da mesma. Verifique se a expressão obtida está correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão sobre força centrípeta. Basicamente, uma partícula de massa m está se movendo em um círculo com raio R e velocidade v, e a força que mantém ela nessa trajetória é a força centrípeta. Nosso objetivo é descobrir uma equação para essa força usando análise dimensional, que é uma maneira de verificar se as unidades nas nossas fórmulas estão corretas. Para isso, vamos precisar entender as grandezas envolvidas: massa, raio, velocidade e, claro, a própria força.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a força centrípeta F_C depende da massa m, do raio R e da velocidade v. Então, podemos escrever uma relação geral assim:
FC = k cdot m^a cdot R^b cdot v^c
Aqui, k é uma constante sem dimensão, e a, b, c são os expoentes que precisamos encontrar usando análise dimensional.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das dimensões de cada grandeza envolvida:
  • Força (F_C):
  • Massa (m):
  • Raio ®:
  • Velocidade (v):

Passo 4

A análise dimensional nos diz que as dimensões dos dois lados da equação devem ser iguais. Então, vamos igualar as dimensões:
[M][L][T^-2] = [M]^a cdot [L]^b cdot ([L][T^-1])^c
Simplificando o lado direito:
[M][L][T^-2] = [M]^a cdot [L]^b + c cdot [T]^-c
Agora, igualamos os expoentes das mesmas dimensões:
  1. Para massa (M):
  2. Para comprimento (L):
  3. Para tempo (T):

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. Substituindo na segunda equação: , então .

Passo 6

Agora que temos os valores dos expoentes, substituímos de volta na nossa equação inicial:
FC = k cdot m^1 cdot R^-1 cdot v^2
Como k é uma constante sem dimensão, podemos absorvê-la na igualdade, ficando:
FC = m cdot v^2R

Resposta

A equação para a força centrípeta é:
FC = m cdot v^2R

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