[Análise dimensional] Uma partícula de massa
descrevendo um movimento circular uniforme numa trajetória circular de raio
com velocidade escalar
está sujeita a uma força que aponta para o centro da trajetória assim qualificada como força centrípeta. Proponha uma equação para a força centrípeta
através da análise dimensional das grandezas que devem influenciar no valor da mesma. Verifique se a expressão obtida está correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão sobre força centrípeta. Basicamente, uma partícula de massa m está se movendo em um círculo com raio R e velocidade v, e a força que mantém ela nessa trajetória é a força centrípeta. Nosso objetivo é descobrir uma equação para essa força usando análise dimensional, que é uma maneira de verificar se as unidades nas nossas fórmulas estão corretas. Para isso, vamos precisar entender as grandezas envolvidas: massa, raio, velocidade e, claro, a própria força.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a força centrípeta F_C depende da massa m, do raio R e da velocidade v. Então, podemos escrever uma relação geral assim:
Aqui, k é uma constante sem dimensão, e a, b, c são os expoentes que precisamos encontrar usando análise dimensional.
Passo 3
Agora, vamos lembrar das dimensões de cada grandeza envolvida:
- Força (F_C):
- Massa (m):
- Raio ®:
- Velocidade (v):
Passo 4
A análise dimensional nos diz que as dimensões dos dois lados da equação devem ser iguais. Então, vamos igualar as dimensões:
Simplificando o lado direito:
Agora, igualamos os expoentes das mesmas dimensões:
- Para massa (M):
- Para comprimento (L):
- Para tempo (T):
Passo 5
Resolvendo as equações:
- De
, temos . - De
, temos . - Substituindo
na segunda equação: , então .
Passo 6
Agora que temos os valores dos expoentes, substituímos de volta na nossa equação inicial:
Como k é uma constante sem dimensão, podemos absorvê-la na igualdade, ficando:
Resposta
A equação para a força centrípeta é: