[Análise dimensional] A equação horária para a posição de uma partícula num oscilador harmônico é bem descrita por uma função escrita na forma geral:
x(t)=A+B cos (omega t+phi)
Usando argumentos baseados na coerência dimensional de equações que expressam grandezas físicas, determine as unidades das grandezas A, B, omega e varphi que aparecem na equação (em unidades de base do SI / MKSA).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quais são as unidades das grandezas x(t) = A + B cos (omega t + varphi) , , e na equação da posição de um oscilador harmônico:
Para isso, vamos usar análise dimensional, que é uma maneira de checar se as equações físicas fazem sentido em termos de unidades. Vamos precisar lembrar das unidades básicas do Sistema Internacional (SI): metro (m), quilograma (kg), segundo (s), ampère (A), kelvin (K), mol (mol) e candela (cd).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da equação onde está Unidade de x(t) = metro (m) . Essa função representa a posição de uma partícula ao longo do tempo, então a unidade de é metro (m).

Passo 3

Agora, a equação diz que Unidade de A = metro (m) é igual a mais . Para a soma fazer sentido, as duas partes devem ter a mesma unidade. Já sabemos que está em metros, então também deve estar em metros (m).

Passo 4

Vamos analisar a parte cos (omega t + varphi) é adimensional . A função cosseno ( Unidade de B = metro (m) ) é uma função trigonométrica que retorna um valor adimensional (sem unidade), ou seja, é apenas um número.
é
Como não tem unidade, multiplicado por essa parte deve ter a mesma unidade que , que é metro (m). Portanto, também está em metros (m).

Passo 5

Agora, vamos descobrir as unidades de omega t + varphi é adimensional e Unidade de omega = segundo^-1 , (s^-1) . Olhando para dentro do cosseno, vemos Unidade de varphi = adimensional . A quantidade dentro do cosseno deve ser adimensional porque não faz sentido colocar unidades dentro de funções trigonométricas.
é
Como é o tempo e sua unidade é segundo (s), para que seja adimensional, deve ter unidades que, quando multiplicadas por segundos, resultem em um número sem unidade. Isso significa que tem unidades de 1/segundo (s ).
está somando com , que já é adimensional. Portanto, também deve ser adimensional, ou seja, sem unidade.

Resposta

  • : metro (m)
  • : metro (m)
  • : segundo (s )
  • : adimensional

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