[Análise dimensional] A equação horária para a posição de uma partícula num oscilador harmônico é bem descrita por uma função escrita na forma geral:
Usando argumentos baseados na coerência dimensional de equações que expressam grandezas físicas, determine as unidades das grandezas
e
que aparecem na equação (em unidades de base do SI / MKSA).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quais são as unidades das grandezas
,
,
e
na equação da posição de um oscilador harmônico:
Para isso, vamos usar análise dimensional, que é uma maneira de checar se as equações físicas fazem sentido em termos de unidades. Vamos precisar lembrar das unidades básicas do Sistema Internacional (SI): metro (m), quilograma (kg), segundo (s), ampère (A), kelvin (K), mol (mol) e candela (cd).
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da equação onde está
. Essa função representa a posição de uma partícula ao longo do tempo, então a unidade de
é metro (m).
Passo 3
Agora, a equação diz que
é igual a
mais
. Para a soma fazer sentido, as duas partes devem ter a mesma unidade. Já sabemos que
está em metros, então
também deve estar em metros (m).
Passo 4
Vamos analisar a parte
. A função cosseno (
) é uma função trigonométrica que retorna um valor adimensional (sem unidade), ou seja, é apenas um número.
Como
não tem unidade,
multiplicado por essa parte deve ter a mesma unidade que
, que é metro (m). Portanto,
também está em metros (m).
Passo 5
Agora, vamos descobrir as unidades de
e
. Olhando para dentro do cosseno, vemos
. A quantidade dentro do cosseno deve ser adimensional porque não faz sentido colocar unidades dentro de funções trigonométricas.
Como
é o tempo e sua unidade é segundo (s), para que
seja adimensional,
deve ter unidades que, quando multiplicadas por segundos, resultem em um número sem unidade. Isso significa que
tem unidades de 1/segundo (s
).
Já
está somando com
, que já é adimensional. Portanto,
também deve ser adimensional, ou seja, sem unidade.
Resposta
-
: metro (m) -
: metro (m) -
: segundo (s ) -
: adimensional
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, e
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O vetor
possui comprimento igual a
e está no primeiro quadrante a
acima do eixo x. O vetor
possui comprimento igual a
e está no quarto quadrante a
abaixo do eixo x. Use componentes para encontrar o módulo e a direção de
.
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e está no primeiro quadrante a
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e está no quarto quadrante a
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