[Movimento uniformemente variado] Partindo da equação horária para a velocidade v(t) variando linearmente com o tempo, deduza a equação horária para a posição x(t) no movimento uniformemente variado, tomada a partir da área sob o gráfico v(t) calculada entre 2 instantes de tempo quaisquer.

Passo 1

Vamos lá! O exercício trata de Movimento Uniformemente Variado (MUV). Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve a posição x(t) de um objeto em função do tempo, partindo da equação da velocidade v(t) que varia de forma linear com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática, especialmente como a posição está relacionada com a velocidade através da área sob o gráfico da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Uniformemente Variado, a velocidade varia linearmente com o tempo. Isso significa que podemos expressar a velocidade como:
v(t) = v0 + a cdot t
Aqui, v0 é a velocidade inicial e a é a aceleração constante. No nosso caso, para simplificar, vamos considerar que a velocidade inicial v0 é zero. Então, a equação fica:
v(t) = a cdot t

Passo 3

Agora, para encontrar a posição x(t), precisamos calcular a área sob o gráfico da velocidade em função do tempo entre dois instantes. Matemáticamente, isso é equivalente a integrar a função da velocidade em relação ao tempo:
x(t) = integral v(t) , dt
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
x(t) = integral a cdot t , dt

Passo 4

Vamos realizar a integração:
x(t) = a cdot integral t , dt = a cdot ( t^22 ) + x0
Aqui, x0 é a posição inicial. Assumindo que começamos do ponto de origem, podemos considerar x0 = 0. Então, a equação simplifica para:
x(t) = a2 cdot t^2

Resposta

A equação horária para a posição no movimento uniformemente variado é:
x(t) = a2 cdot t^2

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