[Movimento uniformemente variado] Partindo da equação horária para a velocidade variando linearmente com o tempo, deduza a equação horária para a posição no movimento uniformemente variado, tomada a partir da área sob o gráfico calculada entre 2 instantes de tempo quaisquer.

Passo 1

Vamos lá! O exercício trata de Movimento Uniformemente Variado (MUV). Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve a posição de um objeto em função do tempo, partindo da equação da velocidade que varia de forma linear com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática, especialmente como a posição está relacionada com a velocidade através da área sob o gráfico da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Uniformemente Variado, a velocidade varia linearmente com o tempo. Isso significa que podemos expressar a velocidade como:
Aqui, é a velocidade inicial e é a aceleração constante. No nosso caso, para simplificar, vamos considerar que a velocidade inicial é zero. Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, para encontrar a posição , precisamos calcular a área sob o gráfico da velocidade em função do tempo entre dois instantes. Matemáticamente, isso é equivalente a integrar a função da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:

Passo 4

Vamos realizar a integração:
Aqui, é a posição inicial. Assumindo que começamos do ponto de origem, podemos considerar . Então, a equação simplifica para:

Resposta

A equação horária para a posição no movimento uniformemente variado é:

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