[Análise dimensional] Um pêndulo simples é um sistema físico oscilante construído a partir de um fio fino e inextensível de comprimento L com uma pequena massa pontual m presa à sua extremidade oscilando livremente sob ação da aceleração da gravidade local g. Propõe-se uma relação na forma T=c m^alpha L^beta g^gamma para o período T de oscilação do pêndulo (onde c é possivelmente uma constante matemática arbitrária e isenta de dimensionalidade física). Determine os expoentes alpha, beta, e gamma da relação proposta a partir da análise dimensional. Investigue sobre a equação que determina o período de oscilação de um pêndulo simples e argumente se o resultado obtido faz algum sentido com a intuição física sobre como esse sistema funciona. Porque a análise dimensional não nos permite conhecer completamente a fórmula desejada?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo simples, que é composto por um fio de comprimento com uma massa na extremidade, oscilando sob a gravidade . Queremos encontrar uma relação para o período de oscilação na forma , onde é uma constante sem dimensão. Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a relacionar grandezas físicas baseando-se nas suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões físicas de cada uma das grandezas envolvidas:
  • (período) tem dimensão de tempo .
  • (massa) tem dimensão de massa .
  • (comprimento) tem dimensão de comprimento .
  • (aceleração da gravidade) tem dimensão de aceleração, que é .

Passo 3

Agora, vamos substituir essas dimensões na relação proposta:
[T] = [M]^alpha [L]^beta ([L][T]^-2)^gamma
Simplificando a expressão do lado direito:
[T] = [M]^alpha [L]^beta + gamma [T]^-2gamma

Passo 4

Para que a equação seja dimensionalmente consistente, as dimensões de ambos os lados devem ser iguais. Portanto, igualamos as potências de cada dimensão:
  • Para a dimensão de massa alpha = 0 :
beta + gamma = 0
  • Para a dimensão de comprimento -2gamma = 1 :
  • Para a dimensão de tempo :

Passo 5

Resolvendo as equações:
  • De gamma = -12 :
beta - 12 = 0 implies beta = 12
  • Substituindo na equação :
  • Nós já temos .

Passo 6

Agora, substituímos os valores de T = c , m^0 L^12 g^-12 , T = c raizLg e na relação original:
Como , a equação simplifica para:

Resposta

Os expoentes encontrados são T = c raizLg , e . A relação para o período do pêndulo fica:
Isso faz sentido fisicamente, pois o período aumenta com e diminui com . No entanto, a análise dimensional não determina a constante nem inclui outros fatores como a amplitude da oscilação, mostrando que, apesar de útil, ela não fornece a fórmula completa.

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