[Análise dimensional] Um pêndulo simples é um sistema físico oscilante construído a partir de um fio fino e inextensível de comprimento
com uma pequena massa pontual
presa à sua extremidade oscilando livremente sob ação da aceleração da gravidade local g. Propõe-se uma relação na forma
para o período
de oscilação do pêndulo (onde
é possivelmente uma constante matemática arbitrária e isenta de dimensionalidade física). Determine os expoentes
, e
da relação proposta a partir da análise dimensional. Investigue sobre a equação que determina o período de oscilação de um pêndulo simples e argumente se o resultado obtido faz algum sentido com a intuição física sobre como esse sistema funciona. Porque a análise dimensional não nos permite conhecer completamente a fórmula desejada?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pêndulo simples, que é composto por um fio de comprimento
com uma massa
na extremidade, oscilando sob a gravidade
. Queremos encontrar uma relação para o período de oscilação
na forma
, onde
é uma constante sem dimensão. Para resolver isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a relacionar grandezas físicas baseando-se nas suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões físicas de cada uma das grandezas envolvidas:
-
(período) tem dimensão de tempo . -
(massa) tem dimensão de massa . -
(comprimento) tem dimensão de comprimento . -
(aceleração da gravidade) tem dimensão de aceleração, que é .
Passo 3
Agora, vamos substituir essas dimensões na relação proposta:
Simplificando a expressão do lado direito:
Passo 4
Para que a equação seja dimensionalmente consistente, as dimensões de ambos os lados devem ser iguais. Portanto, igualamos as potências de cada dimensão:
- Para a dimensão de massa
:
- Para a dimensão de comprimento
:
- Para a dimensão de tempo
:
Passo 5
Resolvendo as equações:
- De
:
- Substituindo
na equação :
- Nós já temos
.
Passo 6
Agora, substituímos os valores de
,
e
na relação original:
Como
, a equação simplifica para:
Resposta
Os expoentes encontrados são
,
e
. A relação para o período do pêndulo fica:
Isso faz sentido fisicamente, pois o período aumenta com
e diminui com
. No entanto, a análise dimensional não determina a constante
nem inclui outros fatores como a amplitude da oscilação, mostrando que, apesar de útil, ela não fornece a fórmula completa.