[Movimento uniformemente variado] Mostre que para o movimento uniformemente variado (ou seja, para um movimento que tem uma aceleração constante), a velocidade média num dado trecho é igual à média das velocidades instantâneas observadas no início e no fim deste mesmo trecho.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: precisamos mostrar que, em um movimento uniformemente variado (ou seja, com aceleração constante), a velocidade média em um trecho é igual à média das velocidades no início e no fim desse trecho. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as fórmulas que relacionam velocidade, aceleração e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é velocidade média. A velocidade média ( Vm = De) em um trecho é definida como a variação da posição ( ) dividida pelo tempo total ( ) gasto nesse trecho:

Passo 3

Em um movimento com aceleração constante, a velocidade em qualquer instante v(t) = v0 + a t pode ser calculada pela fórmula:
onde:
  • é a velocidade no instante ,
  • é a velocidade inicial,
  • é a aceleração constante.

Passo 4

Para encontrar a posição em função do tempo ( s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2 ), integramos a velocidade:
Onde é a posição inicial, que podemos considerar como zero para simplificar.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação de posição ( De) durante o intervalo de tempo :

Passo 6

Substituindo Vm = v0 De na fórmula da velocidade média:

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade no final do trecho, vf = v0 + a De, usando a fórmula da velocidade:

Passo 8

Observamos que a velocidade média Vm = v0 + 12 a De é:
vf = v0 + a De
E a velocidade final Vm = v0 + 12 (vf - v0) = v0 + vf2 é:
Se resolvermos em termos de e :

Resposta

Portanto, mostramos que a velocidade média no trecho é igual à média das velocidades inicial e final:
Vm = v0 + vf2

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