[Movimento uniformemente variado] Mostre que para o movimento uniformemente variado (ou seja, para um movimento que tem uma aceleração constante), a velocidade média num dado trecho é igual à média das velocidades instantâneas observadas no início e no fim deste mesmo trecho.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: precisamos mostrar que, em um movimento uniformemente variado (ou seja, com aceleração constante), a velocidade média em um trecho é igual à média das velocidades no início e no fim desse trecho. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as fórmulas que relacionam velocidade, aceleração e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é velocidade média. A velocidade média (
) em um trecho é definida como a variação da posição (
) dividida pelo tempo total (
) gasto nesse trecho:
Passo 3
Em um movimento com aceleração constante, a velocidade em qualquer instante
pode ser calculada pela fórmula:
onde:
-
é a velocidade no instante , -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração constante.
Passo 4
Para encontrar a posição em função do tempo (
), integramos a velocidade:
Onde
é a posição inicial, que podemos considerar como zero para simplificar.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variação de posição (
) durante o intervalo de tempo
:
Passo 6
Substituindo
na fórmula da velocidade média:
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade no final do trecho,
, usando a fórmula da velocidade:
Passo 8
Observamos que a velocidade média
é:
E a velocidade final
é:
Se resolvermos
em termos de
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que a velocidade média no trecho é igual à média das velocidades inicial e final: