Analise a equação x^2+4 y^2-9 z^2-8 x+6 y=0. Qual tipo de superfície ela representa? Identifique as propriedades geométricas. ^* *

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A equação que precisamos analisar é:
x^2 + 4 y^2 - 9 z^2 - 8x + 6 y = 0
O conteúdo envolvido aqui é principalmente geometria analítica, mais especificamente o estudo de superfícies quadráticas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado para as variáveis e e reorganizar a equação para identificar que tipo de superfície estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação agrupando os que envolvem a mesma variável:
(x^2 - 8x) + (4y^2 + 6y) - 9z^2 = 0
Isso nos ajuda a focar em uma variável de cada vez para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo em x^2 - 8x :
x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2, ficando , e elevamos ao quadrado, que dá . Assim:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para o termo em 4y^2 + 6y = 4(y^2 + 32y) . Primeiro, fatoramos o coeficiente de 4(y^2 + 32y) = 4[(y + 34)^2 - 916] = 4(y + 34)^2 - 94 :
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2, ficando , e elevamos ao quadrado, dando . Assim:

Passo 5

Substituímos esses resultados de volta na equação original:
(x - 4)^2 - 16 + 4(y + 34)^2 - 94 - 9z^2 = 0
Agora, vamos juntar os termos constantes:
-16 - 94 = -734
Então, a equação fica:
(x - 4)^2 + 4(y + 34)^2 - 9z^2 = 734

Passo 6

Para deixar a equação mais clara, vamos dividir todos os termos por (x - 4)^2734 + 4(y + 34)^2734 - 9z^2734 = 1 :
4(x - 4)^273 + 16(y + 34)^273 - 36z^273 = 1
Simplificando as frações:

Passo 7

Podemos reescrever a equação na forma padrão das superfícies quadráticas:
(x - 4)^2(raiz732)^2 + (y + 34)^2(raiz734)^2 - z^2(raiz736)^2 = 1
Isso se assemelha à forma padrão de um hiperbolóide de uma folha:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 - (z - l)^2c^2 = 1

Resposta

A equação dada representa um hiperbolóide de uma folha. As propriedades geométricas dessa superfície são:
  • Centro:
  • Eixos principais:
    • Eixo x: Comprimento
    • Eixo y: Comprimento
    • Eixo z: Comprimento
  • Abertura: A superfície se abre ao longo do eixo z.
  • Simetria: Possui simetria axial em relação aos três eixos coordenados.
Esse tipo de superfície é caracterizado por ter duas “folhas” conectadas, mas no caso de um hiperbolóide de uma folha, as folhas se conectam de maneira contínua, formando uma superfície contínua sem interseções.

Exercícios relacionados