Analise a equação
. Qual tipo de superfície ela representa? Identifique as propriedades geométricas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A equação que precisamos analisar é:
O conteúdo envolvido aqui é principalmente geometria analítica, mais especificamente o estudo de superfícies quadráticas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado para as variáveis
e
e reorganizar a equação para identificar que tipo de superfície estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar os termos da equação agrupando os que envolvem a mesma variável:
Isso nos ajuda a focar em uma variável de cada vez para facilitar a resolução.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, ficando
, e elevamos ao quadrado, que dá
. Assim:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para o termo em
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, ficando
, e elevamos ao quadrado, dando
. Assim:
Passo 5
Substituímos esses resultados de volta na equação original:
Agora, vamos juntar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para deixar a equação mais clara, vamos dividir todos os termos por
:
Simplificando as frações:
Passo 7
Podemos reescrever a equação na forma padrão das superfícies quadráticas:
Isso se assemelha à forma padrão de um hiperbolóide de uma folha:
Resposta
A equação dada representa um hiperbolóide de uma folha. As propriedades geométricas dessa superfície são:
- Centro:
- Eixos principais:
- Eixo x: Comprimento
- Eixo y: Comprimento
- Eixo z: Comprimento
- Eixo x: Comprimento
- Abertura: A superfície se abre ao longo do eixo z.
- Simetria: Possui simetria axial em relação aos três eixos coordenados.
Esse tipo de superfície é caracterizado por ter duas “folhas” conectadas, mas no caso de um hiperbolóide de uma folha, as folhas se conectam de maneira contínua, formando uma superfície contínua sem interseções.