Considere as matrizes:
A & =[ll -1 & 2 -4 & 1 ] & D & =[lll 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 & -2 & 0 ] B & =[ccc -2 & 0 & -5 3 & -3 & -1 0 & 3 & -4 ] & F & =[cccc 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1 ]
Calcule os determinantes:
Por triangulação.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular os determinantes das matrizes A, D, B e F por triangulação. Para isso, vamos utilizar o método de eliminação de Gauss para transformar cada matriz em uma forma triangular superior, onde o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Precisaremos fazer operações de linha, como multiplicar linhas por constantes e subtrair múltiplos de uma linha de outra, preservando o valor do determinante ou ajustando-o conforme necessário.

Passo 2

Determinante da matriz A
A matriz A é uma matriz 2x2:
A = -1 & 2 -4 & 1
Para calcular o determinante por triangulação, como é uma matriz pequena, podemos usar a fórmula direta:
det(A) = (-1)(1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7

Passo 3

Determinante da matriz D
A matriz D é uma matriz 3x3:
D = 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 & -2 & 0
Vamos triangularizar a matriz:
  1. Primeiro passo: Usar o elemento (1,1) como pivô. Já que o elemento (2,1) é 0, não precisamos fazer nada para a segunda linha.
  2. Segundo passo: Eliminar o elemento (3,1). Para isso, substituímos a terceira linha pela terceira linha menos 2 vezes a primeira linha:
L3 = L3 - 2 times L1 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 - 2 times 2 & -2 - 2 times (-2) & 0 - 2 times 4 = 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 0 & 2 & -8
  1. Terceiro passo: Usar o elemento (2,2) como pivô para eliminar o elemento (3,2). Substituímos a terceira linha pela terceira linha mais 2 vezes a segunda linha:
L3 = L3 + 2 times L2 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 0 & 2 + 2 times (-1) & -8 + 2 times 3 = 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 0 & 0 & -2
Agora a matriz está triangular superior:
2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 0 & 0 & -2
O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(D) = 2 times (-1) times (-2) = 4

Passo 4

Determinante da matriz B
A matriz B é uma matriz 3x3:
B = -2 & 0 & -5 3 & -3 & -1 0 & 3 & -4
Vamos triangularizar a matriz:
  1. Primeiro passo: Usar o elemento (1,1) = -2 como pivô. Já que o elemento (3,1) é 0, não precisamos fazer nada para a terceira linha.
  2. Segundo passo: Eliminar o elemento (2,1). Para isso, substituímos a segunda linha pela segunda linha menos (-3/2) vezes a primeira linha:
L2 = L2 - (3-2) L1 = L2 + 32 L1 -2 & 0 & -5 3 + 32 times (-2) & -3 + 32 times 0 & -1 + 32 times (-5) 0 & 3 & -4 = -2 & 0 & -5 0 & -3 & -1 - 152 = -8 0 & 3 & -4
  1. Terceiro passo: Usar o elemento (2,2) = -3 como pivô para eliminar o elemento (3,2). Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos (-1) vezes a segunda linha:
L3 = L3 - (3-3) L2 = L3 + L2 -2 & 0 & -5 0 & -3 & -8 0 & 0 & -12
Agora a matriz está triangular superior:
-2 & 0 & -5 0 & -3 & -8 0 & 0 & -12
O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(B) = (-2) times (-3) times (-12) = -72

Passo 5

Determinante da matriz F
A matriz F é uma matriz 4x4:
F = 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1
Vamos triangularizar a matriz:
  1. Primeiro passo: Usar o elemento (1,1) = 1 como pivô.
  2. Segundo passo: Eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna.
    • Para a segunda linha (linha 2):
      L2 = L2 - 5 times L1 = [5 - 5(1), -9 - 5(-2), 6 - 5(3), 3 - 5(1)] = [0, 1, -9, -2]
    • Para a terceira linha (linha 3):
      L3 = L3 - (-1) times L1 = [-1 + 1(1), 2 + 1(-2), -6 - 1(3), -2 -1(1)] = [0, 0, -9, -3]
    • Para a quarta linha (linha 4):
      L4 = L4 - 2 times L1 = [2 - 2(1), 8 - 2(-2), 6 - 2(3), 1 -2(1)] = [0, 12, 0, -1]
    A matriz fica:
    1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -9 & -3 0 & 12 & 0 & -1
  3. Terceiro passo: Usar o elemento (2,2) = 1 como pivô para eliminar os elementos abaixo na segunda coluna.
    • Para a quarta linha (linha 4): L4 = L4 - 12 times L2 = [0 -12(0), 12 -12(1), 0 -12(-9), -1 -12(-2)] = [0, 0, 108, 23]
    A matriz fica:
    1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -9 & -3 0 & 0 & 108 & 23
  4. Quarto passo: Usar o elemento (3,3) = -9 como pivô para eliminar o elemento abaixo na terceira coluna.
    • Para a quarta linha (linha 4): L4 = L4 - (108-9) L3 = L4 + 12 times L3 = [0, 0, 108 + 12(-9), 23 + 12(-3)] = [0, 0, 0, -13]
    A matriz final em forma triangular superior:
    1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -9 & -3 0 & 0 & 0 & -13
O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(F) = 1 times 1 times (-9) times (-13) = 117

Resposta

Os determinantes calculados são:
  • det(A) = 7
  • det(D) = 4
  • det(B) = -72
  • det(F) = 117

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