Considere as matrizes:
Calcule os determinantes:
Por triangulação.
Por triangulação.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular os determinantes das matrizes A, D, B e F por triangulação. Para isso, vamos utilizar o método de eliminação de Gauss para transformar cada matriz em uma forma triangular superior, onde o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Precisaremos fazer operações de linha, como multiplicar linhas por constantes e subtrair múltiplos de uma linha de outra, preservando o valor do determinante ou ajustando-o conforme necessário.
Passo 2
Determinante da matriz A
A matriz A é uma matriz 2x2:
Para calcular o determinante por triangulação, como é uma matriz pequena, podemos usar a fórmula direta:
Passo 3
Determinante da matriz D
A matriz D é uma matriz 3x3:
Vamos triangularizar a matriz:
- Primeiro passo: Usar o elemento (1,1) como pivô. Já que o elemento (2,1) é 0, não precisamos fazer nada para a segunda linha.
- Segundo passo: Eliminar o elemento (3,1). Para isso, substituímos a terceira linha pela terceira linha menos 2 vezes a primeira linha:
- Terceiro passo: Usar o elemento (2,2) como pivô para eliminar o elemento (3,2). Substituímos a terceira linha pela terceira linha mais 2 vezes a segunda linha:
Agora a matriz está triangular superior:
O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 4
Determinante da matriz B
A matriz B é uma matriz 3x3:
Vamos triangularizar a matriz:
- Primeiro passo: Usar o elemento (1,1) = -2 como pivô. Já que o elemento (3,1) é 0, não precisamos fazer nada para a terceira linha.
- Segundo passo: Eliminar o elemento (2,1). Para isso, substituímos a segunda linha pela segunda linha menos (-3/2) vezes a primeira linha:
- Terceiro passo: Usar o elemento (2,2) = -3 como pivô para eliminar o elemento (3,2). Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos (-1) vezes a segunda linha:
Agora a matriz está triangular superior:
O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 5
Determinante da matriz F
A matriz F é uma matriz 4x4:
Vamos triangularizar a matriz:
-
Primeiro passo: Usar o elemento (1,1) = 1 como pivô.
-
Segundo passo: Eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna.
-
Para a segunda linha (linha 2):
L2 = L2 - 5 times L1 = [5 - 5(1), -9 - 5(-2), 6 - 5(3), 3 - 5(1)] = [0, 1, -9, -2] -
Para a terceira linha (linha 3):
L3 = L3 - (-1) times L1 = [-1 + 1(1), 2 + 1(-2), -6 - 1(3), -2 -1(1)] = [0, 0, -9, -3] -
Para a quarta linha (linha 4):
L4 = L4 - 2 times L1 = [2 - 2(1), 8 - 2(-2), 6 - 2(3), 1 -2(1)] = [0, 12, 0, -1]
A matriz fica:1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -9 & -3 0 & 12 & 0 & -1 -
-
Terceiro passo: Usar o elemento (2,2) = 1 como pivô para eliminar os elementos abaixo na segunda coluna.
- Para a quarta linha (linha 4):
L4 = L4 - 12 times L2 = [0 -12(0), 12 -12(1), 0 -12(-9), -1 -12(-2)] = [0, 0, 108, 23]
A matriz fica:1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -9 & -3 0 & 0 & 108 & 23 - Para a quarta linha (linha 4):
-
Quarto passo: Usar o elemento (3,3) = -9 como pivô para eliminar o elemento abaixo na terceira coluna.
- Para a quarta linha (linha 4):
L4 = L4 - (108-9) L3 = L4 + 12 times L3 = [0, 0, 108 + 12(-9), 23 + 12(-3)] = [0, 0, 0, -13]
A matriz final em forma triangular superior:1 & -2 & 3 & 1 0 & 1 & -9 & -2 0 & 0 & -9 & -3 0 & 0 & 0 & -13 - Para a quarta linha (linha 4):
O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Resposta
Os determinantes calculados são:
-
det(A) = 7 -
det(D) = 4 -
det(B) = -72 -
det(F) = 117