Considere as matrizes:
A & =[ll -1 & 2 -4 & 1 ] & D & =[lll 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 & -2 & 0 ] B & =[ccc -2 & 0 & -5 3 & -3 & -1 0 & 3 & -4 ] & F & =[cccc 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1 ]
Calcule os determinantes:
Por uma das linhas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve calcular os determinantes de várias matrizes usando a expansão por uma das linhas. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes de diferentes tamanhos (2x2, 3x3 e 4x4) usando a expansão por uma linha.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A, que é uma matriz 2x2:
A = [ll -1 & 2 -4 & 1 ]
Para matrizes 2x2, o determinante é calculado de forma direta:
det(A) = (-1)(1) - (2)(-4) = -1 + 8 = 7

Passo 3

Agora, vamos para a matriz D, que é uma matriz 3x3:
D = [lll 2 & -2 & 4 0 & -1 & 3 4 & -2 & 0 ]
Vamos usar a expansão pela primeira linha. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(D) = a11 cdot det(ll a22 & a23 a32 & a33 ) - a12 cdot det(ll a21 & a23 a31 & a33 ) + a13 cdot det(ll a21 & a22 a31 & a32 )
Aplicando os valores:
det(D) = 2 cdot det(ll -1 & 3 -2 & 0 ) - (-2) cdot det(ll 0 & 3 4 & 0 ) + 4 cdot det(ll 0 & -1 4 & -2 )
Calculando cada determinante menor:
det(ll -1 & 3 -2 & 0 ) = (-1)(0) - (3)(-2) = 0 + 6 = 6
det(ll 0 & 3 4 & 0 ) = (0)(0) - (3)(4) = 0 - 12 = -12
det(ll 0 & -1 4 & -2 ) = (0)(-2) - (-1)(4) = 0 + 4 = 4
Agora, substituindo de volta:
det(D) = 2(6) - (-2)(-12) + 4(4) = 12 - 24 + 16 = 4

Passo 4

Vamos para a matriz B, também 3x3:
B = [ccc -2 & 0 & -5 3 & -3 & -1 0 & 3 & -4 ]
Vamos usar a expansão pela primeira linha novamente:
det(B) = -2 cdot det(ll -3 & -1 3 & -4 ) - 0 cdot det(ll 3 & -1 0 & -4 ) + (-5) cdot det(ll 3 & -3 0 & 3 )
Calculando cada determinante menor:
det(ll -3 & -1 3 & -4 ) = (-3)(-4) - (-1)(3) = 12 + 3 = 15
det(ll 3 & -3 0 & 3 ) = (3)(3) - (-3)(0) = 9 - 0 = 9
Agora, substituindo de volta:
det(B) = -2(15) - 0 + (-5)(9) = -30 - 45 = -75

Passo 5

Por fim, vamos calcular o determinante da matriz F, que é uma matriz 4x4:
F = [cccc 1 & -2 & 3 & 1 5 & -9 & 6 & 3 -1 & 2 & -6 & -2 2 & 8 & 6 & 1 ]
Para matrizes 4x4, usamos a expansão por uma linha com determinantes de matrizes 3x3. Vamos expandir pela primeira linha:
det(F) = 1 cdot det(lll -9 & 6 & 3 2 & -6 & -2 8 & 6 & 1 ) - (-2) cdot det(lll 5 & 6 & 3 -1 & -6 & -2 2 & 6 & 1 ) + 3 cdot det(lll 5 & -9 & 3 -1 & 2 & -2 2 & 8 & 1 ) - 1 cdot det(lll 5 & -9 & 6 -1 & 2 & -6 2 & 8 & 6 )
Vamos calcular cada determinante 3x3 individualmente.
Primeiro determinante:
det(lll -9 & 6 & 3 2 & -6 & -2 8 & 6 & 1 ) = -9 cdot det(ll -6 & -2 6 & 1 ) - 6 cdot det(ll 2 & -2 8 & 1 ) + 3 cdot det(ll 2 & -6 8 & 6 )
Calculando os menores:
det(ll -6 & -2 6 & 1 ) = (-6)(1) - (-2)(6) = -6 + 12 = 6
det(ll 2 & -2 8 & 1 ) = (2)(1) - (-2)(8) = 2 + 16 = 18
det(ll 2 & -6 8 & 6 ) = (2)(6) - (-6)(8) = 12 + 48 = 60
Substituindo de volta:
-9(6) - 6(18) + 3(60) = -54 - 108 + 180 = 18
Segundo determinante:
det(lll 5 & 6 & 3 -1 & -6 & -2 2 & 6 & 1 ) = 5 cdot det(ll -6 & -2 6 & 1 ) - 6 cdot det(ll -1 & -2 2 & 1 ) + 3 cdot det(ll -1 & -6 2 & 6 )
Calculando os menores:
det(ll -6 & -2 6 & 1 ) = (-6)(1) - (-2)(6) = -6 + 12 = 6
det(ll -1 & -2 2 & 1 ) = (-1)(1) - (-2)(2) = -1 + 4 = 3
det(ll -1 & -6 2 & 6 ) = (-1)(6) - (-6)(2) = -6 + 12 = 6
Substituindo de volta:
5(6) - 6(3) + 3(6) = 30 - 18 + 18 = 30
Terceiro determinante:
det(lll 5 & -9 & 3 -1 & 2 & -2 2 & 8 & 1 ) = 5 cdot det(ll 2 & -2 8 & 1 ) - (-9) cdot det(ll -1 & -2 2 & 1 ) + 3 cdot det(ll -1 & 2 2 & 8 )
Calculando os menores:
det(ll 2 & -2 8 & 1 ) = (2)(1) - (-2)(8) = 2 + 16 = 18
det(ll -1 & -2 2 & 1 ) = (-1)(1) - (-2)(2) = -1 + 4 = 3
det(ll -1 & 2 2 & 8 ) = (-1)(8) - (2)(2) = -8 - 4 = -12
Substituindo de volta:
5(18) - (-9)(3) + 3(-12) = 90 + 27 - 36 = 81
Quarto determinante:
det(lll 5 & -9 & 6 -1 & 2 & -6 2 & 8 & 6 ) = 5 cdot det(ll 2 & -6 8 & 6 ) - (-9) cdot det(ll -1 & -6 2 & 6 ) + 6 cdot det(ll -1 & 2 2 & 8 )
Calculando os menores:
det(ll 2 & -6 8 & 6 ) = (2)(6) - (-6)(8) = 12 + 48 = 60
det(ll -1 & -6 2 & 6 ) = (-1)(6) - (-6)(2) = -6 + 12 = 6
det(ll -1 & 2 2 & 8 ) = (-1)(8) - (2)(2) = -8 - 4 = -12
Substituindo de volta:
5(60) - (-9)(6) + 6(-12) = 300 + 54 - 72 = 282
Agora, substituindo todos os determinantes calculados na expressão original:
det(F) = 1(18) - (-2)(30) + 3(81) - 1(282) = 18 + 60 + 243 - 282 = 39

Resposta

Os determinantes calculados são:
  • det(A) = 7
  • det(D) = 4
  • det(B) = -75
  • det(F) = 39

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