Escreva as combinações lineares para os seguintes conjuntos de vetores. é uma C.L de e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três vetores no espaço de quatro dimensões:
A questão diz que é uma combinação linear de e . Ou seja, queremos escrever como uma soma ponderada de e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores e é uma expressão da forma:
Onde e são escalares (números reais) que precisamos encontrar. Nosso objetivo é descobrir quais valores de e fazem essa igualdade verdadeira.
Passo 3
Vamos escrever essa equação componente por componente. Isso significa que cada coordenada de deve ser igual à combinação linear correspondente das coordenadas de e . Vamos fazer isso para cada uma das quatro dimensões:
Agora temos um sistema de quatro equações com duas incógnitas ( e ). Geralmente, isso pode parecer complicado, mas vamos resolver passo a passo.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, olhemos para a terceira equação:
5 = 0a + 5b
5 = 5b
Dividindo ambos os lados por 5:
b = 1
Agora que já sabemos que , podemos substituir esse valor nas outras equações para encontrar .
Passo 5
Vamos substituir 7 = 2a + 1 cdot 1 na primeira equação:
7 = 2a + 1
6 = 2a
Subtraindo 1 de ambos os lados:
a = 3
Dividindo por 2:
Passo 6
Para garantir que nossa solução está correta, vamos verificar os valores de -1 = -1 cdot 3 + 2 cdot 1 e -1 = -3 + 2 nas demais equações.
Na segunda equação:
-1 = -1
8 = 3 cdot 3 -1 cdot 1
8 = 9 -1 ✔️
Na quarta equação:
8 = 8
✔️
Tudo confere certinho!
Resposta
A combinação linear que expressa u = 3 cdot v + 1 cdot w em termos de (7, -1, 5, 8) = 3 cdot (2, -1, 0, 3) + 1 cdot (1, 2, 5, -1) e é: