Escreva as combinações lineares para os seguintes conjuntos de vetores.
u=(7,-1,5,8) é uma C.L de v=(2,-1,0,3) e w=(1,2,5,-1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três vetores no espaço de quatro dimensões:
A questão diz que é uma combinação linear de e . Ou seja, queremos escrever como uma soma ponderada de e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores u = a cdot v + b cdot w e é uma expressão da forma:
Onde e são escalares (números reais) que precisamos encontrar. Nosso objetivo é descobrir quais valores de e fazem essa igualdade verdadeira.

Passo 3

Vamos escrever essa equação componente por componente. Isso significa que cada coordenada de 7 = 2a + 1b -1 = -1a + 2b 5 = 0a + 5b 8 = 3a -1b deve ser igual à combinação linear correspondente das coordenadas de e . Vamos fazer isso para cada uma das quatro dimensões:
Agora temos um sistema de quatro equações com duas incógnitas ( e ). Geralmente, isso pode parecer complicado, mas vamos resolver passo a passo.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, olhemos para a terceira equação:
5 = 0a + 5b
5 = 5b
Dividindo ambos os lados por 5:
b = 1
Agora que já sabemos que , podemos substituir esse valor nas outras equações para encontrar .

Passo 5

Vamos substituir 7 = 2a + 1 cdot 1 na primeira equação:
7 = 2a + 1
6 = 2a
Subtraindo 1 de ambos os lados:
a = 3
Dividindo por 2:

Passo 6

Para garantir que nossa solução está correta, vamos verificar os valores de -1 = -1 cdot 3 + 2 cdot 1 e -1 = -3 + 2 nas demais equações.
Na segunda equação:
-1 = -1
8 = 3 cdot 3 -1 cdot 1
8 = 9 -1 ✔️
Na quarta equação:
8 = 8
✔️
Tudo confere certinho!

Resposta

A combinação linear que expressa u = 3 cdot v + 1 cdot w em termos de (7, -1, 5, 8) = 3 cdot (2, -1, 0, 3) + 1 cdot (1, 2, 5, -1) e é:
Ou seja,

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