Encontre as coordenadas dos focos e dos vértices da hipérbole dada pela equação x^249-y^236=1 ^* *

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de hipérbole! O enunciado pede para encontrar as coordenadas dos focos e dos vértices da hipérbole dada pela equação x^249-y^236=1. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e identificar os parâmetros necessários para encontrar essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação da hipérbole. A equação geral de uma hipérbole com eixo principal no eixo (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1 é:
x^249 - y^236 = 1
No nosso caso, a equação é:
Comparando as duas, vemos que e , então a hipérbole está centrada na origem.

Passo 3

Vamos identificar os valores de a^2 = 49 Rightarrow a = raiz49 = 7 e b^2 = 36 Rightarrow b = raiz36 = 6 que estão relacionados aos elementos da hipérbole:
Aqui, representa a distância do centro aos vértices ao longo do eixo , e está relacionado à distância aos co-vértices ao longo do eixo .

Passo 4

Para encontrar os focos, precisamos calcular o valor de c^2 = a^2 + b^2 , que está relacionado por:
c^2 = 49 + 36 = 85 Rightarrow c = raiz85
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Agora, vamos determinar as coordenadas dos vértices da hipérbole. Como o eixo principal está no eixo Vértices: (h + a, k) e (h - a, k) , os vértices estão a uma distância Vértices: (0 + 7, 0) e (0 - 7, 0) do centro ao longo desse eixo:
Vértices: (7, 0) e (-7, 0) é
é
é

Passo 6

Em seguida, determinamos as coordenadas dos focos. Eles também estão ao longo do eixo principal, a uma distância Focos: (h + c, k) e (h - c, k) do centro:
Focos: (0 + raiz85, 0) e (0 - raiz85, 0)
Focos: (raiz85, 0) e (-raiz85, 0)

Resposta

As coordenadas dos vértices da hipérbole são e . As coordenadas dos focos são e .

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