Encontre as coordenadas dos focos e dos vértices da hipérbole dada pela equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de hipérbole! O enunciado pede para encontrar as coordenadas dos focos e dos vértices da hipérbole dada pela equação
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e identificar os parâmetros necessários para encontrar essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação da hipérbole. A equação geral de uma hipérbole com eixo principal no eixo
é:
No nosso caso, a equação é:
Comparando as duas, vemos que
e
, então a hipérbole está centrada na origem.
Passo 3
Vamos identificar os valores de
e
que estão relacionados aos elementos da hipérbole:
Aqui,
representa a distância do centro aos vértices ao longo do eixo
, e
está relacionado à distância aos co-vértices ao longo do eixo
.
Passo 4
Para encontrar os focos, precisamos calcular o valor de
, que está relacionado por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Agora, vamos determinar as coordenadas dos vértices da hipérbole. Como o eixo principal está no eixo
, os vértices estão a uma distância
do centro ao longo desse eixo:
Passo 6
Em seguida, determinamos as coordenadas dos focos. Eles também estão ao longo do eixo principal, a uma distância
do centro:
Resposta
As coordenadas dos vértices da hipérbole são
e
. As coordenadas dos focos são
e
.