1,0 Transforme a equação em uma equação exata e, em seguida, resolva-a.
(y + x*y + e^(-x)) dx + (x + 2*e^(-x)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisa ser transformada em uma equação exata para que possamos resolvê-la. A matéria que vamos usar envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para isso, vamos precisar identificar os termos da equação, verificar se ela já é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Depois disso, vamos integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 4

Um fator integrante comum depende apenas de ou de . Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de . Denotamos esse fator por .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Portanto, o fator integrante é .

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, temos uma equação que deve ser exata.

Passo 6

Vamos verificar novamente se a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante.
Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação agora é exata!

Passo 7

Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Então:

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando com , temos:
Então, a função potencial completa é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é dada por . Assim:
Para simplificar, podemos escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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