Transforme a equação em uma equação exata e, em seguida, resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisa ser transformada em uma equação exata para que possamos resolvê-la. A matéria que vamos usar envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para isso, vamos precisar identificar os termos da equação, verificar se ela já é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Depois disso, vamos integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 4
Um fator integrante comum depende apenas de
ou de
. Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
. Denotamos esse fator por
.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Portanto, o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, temos uma equação que deve ser exata.
Passo 6
Vamos verificar novamente se a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante.
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação agora é exata!
Passo 7
Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Então:
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando com
, temos:
Então, a função potencial completa é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é dada por
. Assim:
Para simplificar, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.