Considere um tubo circular com diâmetro D e comprimento L com uma vazão mássica dotm.
a) Para condições de fluxo térmico constante, deduza uma expressão para a razão entre a diferença de temperaturas entre a parede na sua saída e a temperatura de entrada, Ts(x=L)-Tm,ent, e taxa total de transferência de calor para o fluido, q. Represente seus resultados em termos de termos de a dotm, L, Nusselt local na saída do tubo e propriedades relevantes do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma relação entre a diferença de temperaturas na parede do tubo e a taxa total de transferência de calor para o fluido. A gente vai trabalhar com conceitos de transferência de calor em tubos, utilizando aquelas fórmulas que envolvem o número de Nusselt. Para resolver, vamos precisar da vazão mássica ( dotm), do comprimento do tubo ( L), do número de Nusselt na saída do tubo ( NuL) e das propriedades do fluido, como a capacidade térmica específica ( cp) e a condutividade térmica ( k).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a taxa de transferência de calor ( q) para o fluido pode ser expressa pela fórmula básica da transferência de calor por convecção:
q = dotm cdot cp cdot (Ts(L) - Tm,in)
Aqui, dotm é a vazão mássica, cp é a capacidade térmica específica do fluido, Ts(L) é a temperatura na parede na saída do tubo, e Tm,in é a temperatura de entrada do fluido.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o número de Nusselt ( NuL) com a taxa de transferência de calor. O número de Nusselt é definido como:
Nu = h cdot Dk
Onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, D é o diâmetro do tubo, e k é a condutividade térmica do fluido. Podemos rearranjar essa fórmula para encontrar h:
h = Nu cdot kD

Passo 4

Sabendo que a taxa de transferência de calor também pode ser expressa como:
q = h cdot A cdot (Ts(L) - Tm,in)
Onde A é a área de transferência de calor. Para um tubo circular, a área na saída é:
A = pi cdot D cdot L
Substituindo A na equação:
q = h cdot pi cdot D cdot L cdot (Ts(L) - Tm,in)

Passo 5

Agora, vamos igualar as duas expressões para q:
dotm cdot cp cdot (Ts(L) - Tm,in) = h cdot pi cdot D cdot L cdot (Ts(L) - Tm,in)
Podemos simplificar cancelando (Ts(L) - Tm,in) de ambos os lados:
dotm cdot cp = h cdot pi cdot D cdot L

Passo 6

Substituindo h pela expressão em termos do número de Nusselt:
dotm cdot cp = ( NuL cdot kD ) cdot pi cdot D cdot L
Simplificando os termos:
dotm cdot cp = NuL cdot k cdot pi cdot L

Passo 7

Agora, vamos isolar a diferença de temperatura que a gente quer:
Relembrando que:
q = dotm cdot cp cdot (Ts(L) - Tm,in)
Então:
Ts(L) - Tm,in = qdotm cdot cp

Passo 8

Substituindo q pela expressão em termos do número de Nusselt:
q = NuL cdot k cdot pi cdot L
Então:
Ts(L) - Tm,in = NuL cdot k cdot pi cdot Ldotm cdot cp

Resposta

A razão entre a diferença de temperaturas na parede na saída e a taxa total de transferência de calor para o fluido é dada por:
Ts(L) - Tm,inq = NuL cdot k cdot pi cdot Ldotm cdot cp cdot q

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