Analise se a função dentro da integral é par ou ímpar e calcule a integral dada. .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a função dentro da integral, que é , é par ou ímpar. Depois disso, temos que calcular a integral de até de . Para resolver isso, vamos precisar saber o que são funções pares e ímpares e como calcular integrais de funções no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser par ou ímpar. Uma função é par se para todo , e é ímpar se . Isso ajuda a simplificar integrais quando se trabalha com simetrias.

Passo 3

Vamos verificar se é par ou ímpar. Calculando :
Como , a função é par.

Passo 4

Sabendo que a função é par, podemos simplificar a integral de até :
Aplicando isso no nosso caso:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Sabemos que é positivo no intervalo e negativo no intervalo . Então, podemos dividir a integral em duas partes:

Passo 6

Calculando cada parte:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:

Passo 7

Somando as duas partes:
Então, a integral de até de é igual a .

Passo 8

Lembrando que usamos a propriedade de funções pares:

Resposta

A integral é igual a 6.

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Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função. .
Avaliar as seguintes integrais trigonométricas. .
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