Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente sen(x) e cos(x), elevadas a potências. Para resolver isso, vamos usar substituição, que é uma técnica de cálculo que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável u. Observando , percebemos que é multiplicada e também aparece na derivada de sen(x). Então, vamos fazer:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x, que é:
Passo 4
Queremos expressar a integral em termos de u. Vamos reescrever usando a substituição que fizemos:
Primeiro, notamos que . Sabendo que , podemos reescrever:
Então, a integral fica:
E como , substituímos:
Passo 5
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos do constante C.
Passo 7
Agora, substituímos u de volta em termos de x:
Então, a solução da integral indefinida é:
Passo 8
Agora, vamos avaliar a integral definida de a . Primeiro, calculamos nos limites:
Para :
Para :
Então, substituímos esses valores na antiderivada:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Passo 10
Porém, como a área é positiva dentro desse intervalo, vamos considerar o valor absoluto: