Avaliar as seguintes integrais trigonométricas. integralpi / 2^pi sen^5(x) cos ^3(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente sen(x) e cos(x), elevadas a potências. Para resolver isso, vamos usar substituição, que é uma técnica de cálculo que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável u. Observando , percebemos que sen^5(x) cos^3(x) é multiplicada e também aparece na derivada de sen(x). Então, vamos fazer:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x, que é:
dudx = cos(x) implies du = cos(x) , dx

Passo 4

Queremos expressar a integral em termos de u. Vamos reescrever usando a substituição que fizemos:
Primeiro, notamos que sen^5(x) cos^3(x) , dx. Sabendo que , podemos reescrever:
Então, a integral fica:
cos^3(x) = cos^2(x) cdot cos(x)
E como cos^2(x) = 1 - sen^2(x), substituímos:
cos^3(x) = (1 - sen^2(x)) cos(x) = (1 - u^2) cos(x)

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
u^5 (1 - u^2) = u^5 - u^7
Então, a integral fica:
integral (u^5 - u^7) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^5 , du - integral u^7 , du = u^66 - u^88 + C
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos do constante C.

Passo 7

Agora, substituímos u de volta em termos de x:
Então, a solução da integral indefinida é:

Passo 8

Agora, vamos avaliar a integral definida de pi/2 a pi. Primeiro, calculamos nos limites:
Para x = pi:
Para sen(pi) = 0 :
Então, substituímos esses valores na antiderivada:
x = pi/2

Passo 9

Simplificando a expressão:
- ( 16 - 18 ) = - ( 424 - 324 ) = - ( 124 ) = -124

Passo 10

Porém, como a área é positiva dentro desse intervalo, vamos considerar o valor absoluto:
| -124 | = 124

Resposta

A integral avaliada é 124.

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