Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função. H(x)=integralraizx^x^3 e^t^2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida por uma integral com limites que dependem de . O enunciado pede para encontrar a derivada dessa função usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Para isso, vamos precisar entender como derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites constantes, como , então a derivada dessa função em relação a é simplesmente , se os limites fossem de a .

Passo 3

No nosso caso, os limites da integral dependem de : o limite inferior é e o limite superior é . Para derivar uma integral com limites variáveis, usamos uma extensão do Teorema Fundamental do Cálculo que leva em conta as derivadas dos limites.

Passo 4

A fórmula para derivar uma integral com limites variáveis é:
ddx integralu(x)^v(x) f(t) dt = f(v(x)) cdot v'(x) - f(u(x)) cdot u'(x)
Isso significa que derivamos a função no limite superior multiplicada pela derivada desse limite, menos a função no limite inferior multiplicada pela derivada desse limite.

Passo 5

Aplicando isso à nossa função :
  • então
  • então

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula:
H'(x) = e^(x^3)^2 cdot 3x^2 - e^(raizx)^2 cdot 12raizx

Passo 7

Simplificando os expoentes:
H'(x) = e^x^6 cdot 3x^2 - e^x cdot 12raizx

Resposta

A derivada da função H'(x) = 3x^2 e^x^6 - e^x2raizx é:

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