Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida por uma integral com limites que dependem de
. O enunciado pede para encontrar a derivada dessa função usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Para isso, vamos precisar entender como derivar integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites constantes, como
, então a derivada dessa função em relação a
é simplesmente
, se os limites fossem de
a
.
Passo 3
No nosso caso, os limites da integral dependem de
: o limite inferior é
e o limite superior é
. Para derivar uma integral com limites variáveis, usamos uma extensão do Teorema Fundamental do Cálculo que leva em conta as derivadas dos limites.
Passo 4
A fórmula para derivar uma integral com limites variáveis é:
Isso significa que derivamos a função no limite superior multiplicada pela derivada desse limite, menos a função no limite inferior multiplicada pela derivada desse limite.
Passo 5
Aplicando isso à nossa função
:
-
-
então -
então
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 7
Simplificando os expoentes:
Resposta
A derivada da função
é:
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.
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.
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