Avaliar as seguintes integrais trigonométricas. integralpi / 6^pi / 2 cotan(x) cossec^3(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trigonométrica que a gente tem aqui:
Vamos trabalhar com funções trigonométricas, especificamente com cotangente e cossecante. Para resolver isso, a gente vai precisar utilizar técnicas de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções trigonométricas envolvidas:
cot(x) = cos(x)sin(x)
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
cosec(x) = 1sin(x)

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
u = sin(x)
Então, a derivada de du = cos(x) dx em relação a cos(x) dx = du é:
integral duu^4 = integral u^-4 du
Isso significa que:
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Integrando integral u^-4 du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C, obtemos:
-13 sin^3(x) + C
Agora, substituímos de volta por :

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, ou seja, de -13 sin^3(pi/2) = -13 (1)^3 = -13 a -13 sin^3(pi/6) = -13 (12)^3 = -13 cdot 18 = -83:
Primeiro, calculemos para :
Depois, para :

Passo 6

Agora, subtraímos os valores obtidos:
(-13) - (-83) = -13 + 83 = 73

Resposta

A integral avaliada é igual a .

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