Avaliar as seguintes integrais trigonométricas. integral0^pi / 2 sen(5 x) cos (3 x) d x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral da função no intervalo de a . Para resolver essa integral, vamos utilizar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de seno e cosseno.

Passo 2

A identidade trigonométrica que vamos usar é:
sin(A)cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B)2
Essa fórmula nos permite transformar o produto de seno e cosseno em uma soma de funções seno, facilitando a integração.

Passo 3

Aplicando essa identidade com sin(5x)cos(3x) = sin(5x + 3x) + sin(5x - 3x)2 = sin(8x) + sin(2x)2 e , temos:

Passo 4

Substituindo essa expressão na integral original, ficamos com:
integral0^pi2 sin(5x)cos(3x) , dx = 12 integral0^pi2 (sin(8x) + sin(2x)) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral sin(kx) , dx = -cos(kx)k + C é dada por:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa fórmula aos nossos termos:
12 [ -cos(8x)8 - cos(2x)2 ] g|0^pi2

Passo 7

Vamos calcular nos limites de integração:
Para -cos(8 cdot pi2)8 - cos(2 cdot pi2)2 = -cos(4pi)8 - cos(pi)2 = -18 - (-12) = -18 + 12 = 38 :
-cos(0)8 - cos(0)2 = -18 - 12 = -58
Para :

Passo 8

A diferença entre os valores nos limites é:
38 - (-58) = 38 + 58 = 1
Multiplicando por 12 times 1 = 12 :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados