Analise se a função dentro da integral é par ou ímpar e calcule a integral dada. .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a integral e precisamos descobrir se a função dentro da integral é par ou ímpar. Depois disso, vamos calcular o valor dessa integral. O assunto aqui envolve funções pares e ímpares, além de técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser par ou ímpar.
  • Função Par: Uma função é par se para todo no domínio, . Geometricamente, isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se para todo no domínio, . Isso faz com que o gráfico da função seja simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dentro da integral: .
Vamos verificar se é par ou ímpar:
  1. Substituímos por :
  2. Comparamos com :
Como , isso significa que a função é par.

Passo 4

Sabemos que se uma função é par, a integral de a dela é duas vezes a integral de a . Ou seja:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral .
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:

Resposta

A integral é igual a .

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Avaliar por substituição trigonométrica: ou ou . .