Analise se a função dentro da integral é par ou ímpar e calcule a integral dada. integral-1^1(x^2+x^4) d x.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a integral e precisamos descobrir se a função dentro da integral é par ou ímpar. Depois disso, vamos calcular o valor dessa integral. O assunto aqui envolve funções pares e ímpares, além de técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser par ou ímpar.
  • Função Par: Uma função é par se para todo no domínio, . Geometricamente, isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se para todo no domínio, . Isso faz com que o gráfico da função seja simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dentro da integral: f(-x) = (-x)^2 + (-x)^4 = x^2 + x^4 .
Vamos verificar se é par ou ímpar:
  1. Substituímos f(-x) = f(x) por :
  2. Comparamos com :
Como , isso significa que a função é par.

Passo 4

Sabemos que se uma função é par, a integral de integral-a^a f(x) dx = 2 integral0^a f(x) dx a integral-1^1(x^2+x^4) d x = 2 integral0^1(x^2+x^4) d x dela é duas vezes a integral de a . Ou seja:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral integral x^2 dx = x^33 e integral x^4 dx = x^55 .
Integrando termo a termo:
integral0^1(x^2+x^4) d x = [x^33 + x^55]0^1 = (13 + 15) - (0 + 0) = 13 + 15 = 815
Então:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
integral-1^1(x^2+x^4) d x = 2 times 815 = 1615

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados