Use substituição para calcular as seguintes integrais: .

Passo 1

Vamos resolver a integral definida utilizando o método de substituição. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente às técnicas de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral envolve uma função trigonométrica elevada a uma potência, multiplicada por outra função trigonométrica. O método de substituição é útil aqui porque podemos escolher uma parte da função para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos identificar uma substituição que torne a integral mais simples. Observamos que derivar nos dá , que já está presente na integral. Portanto, fazemos a substituição:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de em relação a para encontrar :

Passo 5

Substituímos e na integral original:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos adicionar a constante de integração .

Passo 7

Voltamos à variável original substituindo :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 9

Calculamos os valores das funções trigonométricas nos limites:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral é .

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