Use substituição para calcular as seguintes integrais: integral0^pi / 2 sen^3(x) cos (x) d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida utilizando o método de substituição. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente às técnicas de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral envolve uma função trigonométrica elevada a uma potência, multiplicada por outra função trigonométrica. O método de substituição é útil aqui porque podemos escolher uma parte da função para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos identificar uma substituição que torne a integral mais simples. Observamos que derivar nos dá sen(x), que já está presente na integral. Portanto, fazemos a substituição:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = cos(x) Rightarrow du = cos(x) , dx

Passo 5

Substituímos u e du na integral original:

Passo 6

Agora, integramos u^3 em relação a u:
integral u^3 , du = u^44 + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos adicionar a constante de integração C.

Passo 7

Voltamos à variável original substituindo :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi2:

Passo 9

Calculamos os valores das funções trigonométricas nos limites:
Substituindo:
sen(pi2) = 1 e sen(0) = 0

Resposta

O valor da integral é 14.

Exercícios relacionados