Use substituição para calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida utilizando o método de substituição. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente às técnicas de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral envolve uma função trigonométrica elevada a uma potência, multiplicada por outra função trigonométrica. O método de substituição é útil aqui porque podemos escolher uma parte da função para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos identificar uma substituição que torne a integral mais simples. Observamos que derivar nos dá
, que já está presente na integral. Portanto, fazemos a substituição:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Agora, integramos
em relação a
:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos adicionar a constante de integração
.
Passo 7
Voltamos à variável original substituindo :
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 9
Calculamos os valores das funções trigonométricas nos limites:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral é
.
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ou
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