Avaliar as seguintes integrais trigonométricas.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral trigonométrica:
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e uma técnica chamada substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
. Mas, para facilitar a integração, vamos reescrever a integral em termos de senos e cossenos:
Passo 3
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição. Vamos separar uma potência de
para usar a identidade
:
Passo 4
Agora, fazemos a substituição
. Então,
ou
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, integramos termo a termo:
Passo 6
Voltando para a variável original
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 8
Calculando os valores:
Sabemos que
, então
. E
, portanto
.
Substituindo:
Passo 9
Simplificando as frações:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Analise se a função dentro da integral é par ou ímpar e calcule a integral dada.
.
Use substituição para calcular as seguintes integrais:
.
Avaliar por substituição trigonométrica:
ou
ou
.
.
Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:
.