Avaliar as seguintes integrais trigonométricas. integral0^pi / 3 tan ^3(x) sec ^4(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral trigonométrica: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que integral0^pi / 3 tan^3(x) sec^4(x) , dx = integral0^pi / 3 (sin(x)cos(x))^3 (1cos(x))^4 , dx = integral0^pi / 3 sin^3(x)cos^7(x) , dx e . Mas, para facilitar a integração, vamos reescrever a integral em termos de senos e cossenos:

Passo 3

Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição. Vamos separar uma potência de integral sin^3(x)cos^7(x) , dx = integral sin^2(x) cdot sin(x)cos^7(x) , dx = integral (1 - cos^2(x)) cdot sin(x)cos^7(x) , dx para usar a identidade :

Passo 4

Agora, fazemos a substituição integral (1 - u^2) cdot (-du)u^7 = -integral 1 - u^2u^7 , du = -integral ( u^-7 - u^-5 ) , du . Então, ou . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
-( integral u^-7 , du - integral u^-5 , du ) = -( u^-6-6 - u^-4-4 ) = u^-66 - u^-44 + C

Passo 6

Voltando para a variável original cos^-6(x)6 - cos^-4(x)4 + C = sec^6(x)6 - sec^4(x)4 + C :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [ sec^6(x)6 - sec^4(x)4 ]0^pi/3 = ( sec^6(pi/3)6 - sec^4(pi/3)4 ) - ( sec^6(0)6 - sec^4(0)4 ) a :

Passo 8

Calculando os valores:
Sabemos que ( 2^66 - 2^44 ) - ( 1^66 - 1^44 ) = ( 646 - 164 ) - ( 16 - 14 ) , então . E , portanto .
Substituindo:

Passo 9

Simplificando as frações:
( 323 - 4 ) - ( 212 - 312 ) = ( 323 - 123 ) - ( -112 ) = 203 + 112 = 8012 + 112 = 8112 = 274

Resposta

O valor da integral é .

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