Avaliar as seguintes integrais trigonométricas. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral trigonométrica: . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Mas, para facilitar a integração, vamos reescrever a integral em termos de senos e cossenos:

Passo 3

Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando uma substituição. Vamos separar uma potência de para usar a identidade :

Passo 4

Agora, fazemos a substituição . Então, ou . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:

Passo 6

Voltando para a variável original :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 8

Calculando os valores:
Sabemos que , então . E , portanto .
Substituindo:

Passo 9

Simplificando as frações:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Analise se a função dentro da integral é par ou ímpar e calcule a integral dada. .
Use substituição para calcular as seguintes integrais: .
Avaliar por substituição trigonométrica: ou ou . .
Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções: .