Avaliar por substituição trigonométrica:
ou
ou
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. O problema é calcular a integral definida:
Aqui, estamos lidando com uma expressão que envolve
, onde
. Para resolver isso, vamos usar a substituição trigonométrica apropriada, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição trigonométrica:
Isso porque
se encaixa na forma
, e a substituição
simplifica a expressão.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso é necessário para substituir
na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na integral:
Lembrando que
, podemos simplificar mais:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que:
E usando a identidade
, com
e
, temos:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão integrada:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Resposta
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.
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.
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