Avaliar por substituição trigonométrica: ou ou . .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. O problema é calcular a integral definida:
Aqui, estamos lidando com uma expressão que envolve , onde . Para resolver isso, vamos usar a substituição trigonométrica apropriada, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição trigonométrica:
Isso porque se encaixa na forma , e a substituição simplifica a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso é necessário para substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo e na integral, temos:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
Lembrando que , podemos simplificar mais:

Passo 6

Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:
E usando a identidade , com e , temos:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão integrada:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando para :
Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
Simplificando:

Resposta

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Avaliar as seguintes integrais trigonométricas. .
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