Avaliar por substituição trigonométrica: x=a sen theta ou x=a tan theta ou x=a sec theta. integral3 raiz2^6 raizx^2-9x^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. O problema é calcular a integral definida:
integral3 raiz2^6 raizx^2-9x^3 , dx
Aqui, estamos lidando com uma expressão que envolve , onde . Para resolver isso, vamos usar a substituição trigonométrica apropriada, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição trigonométrica:
x = 3 sec theta
Isso porque se encaixa na forma , e a substituição simplifica a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dx = 3 sec theta tan theta , dtheta em relação a :
Isso é necessário para substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo integral raiz(3 sec theta)^2 - 9(3 sec theta)^3 cdot 3 sec theta tan theta , dtheta e raiz9 sec^2 theta - 9 = raiz9 (sec^2 theta - 1) = raiz9 tan^2 theta = 3 tan theta na integral, temos:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na integral:
integral 3 tan theta27 sec^3 theta cdot 3 sec theta tan theta , dtheta = integral 9 tan^2 theta27 sec^2 theta , dtheta = integral tan^2 theta3 sec^2 theta , dtheta
Lembrando que integral sec^2 theta - 13 sec^2 theta , dtheta = integral ( 13 - 13 sec^2 theta ) dtheta = 13 integral dtheta - 13 integral cos^2 theta , dtheta , podemos simplificar mais:

Passo 6

Integrando termo a termo:
13 theta - 13 ( theta2 + sin(2theta)4 ) + C = 13 theta - 16 theta - 112 sin(2theta) + C = 16 theta - 112 sin(2theta) + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x = 3 sec theta Rightarrow sec theta = x3 Rightarrow theta = arcsec(x3) . Sabemos que:
E usando a identidade sin(2theta) = 2 cdot raizx^2 - 9x cdot 3x = 6 raizx^2 - 9x^2 , com e , temos:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão integrada:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 16 arcsec(x3) - raizx^2 - 92 x^2 ]3 raiz2^6 a 16 arcsec(2) - raiz36 - 972 = 16 cdot pi3 - raiz27 72 = pi18 - 3 raiz372 = pi18 - raiz324 :
Calculando para 16 arcsec(raiz2) - raiz(3 raiz2)^2 - 92 cdot (3 raiz2)^2 = 16 cdot pi4 - raiz18 - 936 = pi24 - 336 = pi24 - 112 :
Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
( pi18 - raiz324 ) - ( pi24 - 112 ) = pi18 - pi24 - raiz324 + 112
Simplificando:
4pi - 3pi72 - raiz324 + 112 = pi72 - raiz324 + 112

Resposta

pi72 - raiz324 + 112

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