Avaliar por substituição trigonométrica: x=a sen theta ou x=a tan theta ou x=a sec theta. integral0^3 d x(raizx^2+9)^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral com substituição trigonométrica. O enunciado pede para avaliar a integral definida de 0 a 3 de dx(raizx^2 + 9)^3. Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que contêm expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que se encaixa em uma identidade trigonométrica. Observamos que temos raizx^2 + 9 no denominador. Isso se assemelha à expressão raiza^2 + x^2, que sugere o uso da substituição x = a tan theta. Aqui, a é uma constante, e nesse caso, a = 3 porque 9 é 3^2.
Então, fazemos a substituição:
x = 3 tan theta

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx em termos de theta. Derivando ambos os lados da equação em relação a theta:
dx = 3 sec^2 theta , dtheta

Passo 4

Vamos também reescrever raizx^2 + 9 usando a substituição que fizemos:
raizx^2 + 9 = raiz9 tan^2 theta + 9 = raiz9(tan^2 theta + 1) = raiz9 sec^2 theta = 3 sec theta

Passo 5

Substituindo x e dx na integral original:
integral0^3 dx(raizx^2 + 9)^3 = integral 3 sec^2 theta , dtheta(3 sec theta)^3 = integral 3 sec^2 theta , dtheta27 sec^3 theta = 19 integral cos theta , dtheta
Aqui, simplificamos sec^2 theta / sec^3 theta para cos theta porque sec theta = 1/cos theta.

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
19 integral cos theta , dtheta = 19 sin theta + C
Mas como estamos avaliando uma integral definida, não precisamos do C.

Passo 7

Vamos voltar para a variável original x. Sabemos que:
sin theta = xraizx^2 + 9
Então:
19 sin theta = 19 cdot xraizx^2 + 9

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração. Primeiro, determinamos theta quando x = 0 e quando x = 3:
  • Quando x = 0:
    0 = 3 tan theta implies theta = 0
  • Quando x = 3:
    3 = 3 tan theta implies tan theta = 1 implies theta = pi4

Passo 9

Finalmente, avaliamos a expressão nos limites:
19 sin theta |0^pi4 = 19 ( sin pi4 - sin 0 ) = 19 ( raiz22 - 0 ) = raiz218

Resposta

A integral avaliada é igual a dfracraiz218.

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