Avaliar por substituição trigonométrica: ou ou . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral com substituição trigonométrica. O enunciado pede para avaliar a integral definida de 0 a 3 de . Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que contêm expressões quadráticas dentro de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da função que se encaixa em uma identidade trigonométrica. Observamos que temos no denominador. Isso se assemelha à expressão , que sugere o uso da substituição . Aqui, é uma constante, e nesse caso, porque é .
Então, fazemos a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a :
Passo 4
Vamos também reescrever usando a substituição que fizemos:
Passo 5
Substituindo e na integral original:
Aqui, simplificamos para porque .
Passo 6
Agora, a integral ficou mais simples:
Mas como estamos avaliando uma integral definida, não precisamos do .
Passo 7
Vamos voltar para a variável original . Sabemos que:
Então:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração. Primeiro, determinamos quando e quando :