Avaliar por substituição trigonométrica: ou ou . .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral com substituição trigonométrica. O enunciado pede para avaliar a integral definida de 0 a 3 de . Para isso, vamos usar uma substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que contêm expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que se encaixa em uma identidade trigonométrica. Observamos que temos no denominador. Isso se assemelha à expressão , que sugere o uso da substituição . Aqui, é uma constante, e nesse caso, porque é .
Então, fazemos a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 4

Vamos também reescrever usando a substituição que fizemos:

Passo 5

Substituindo e na integral original:
Aqui, simplificamos para porque .

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
Mas como estamos avaliando uma integral definida, não precisamos do .

Passo 7

Vamos voltar para a variável original . Sabemos que:
Então:

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração. Primeiro, determinamos quando e quando :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 9

Finalmente, avaliamos a expressão nos limites:

Resposta

A integral avaliada é igual a .

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Analise se a função dentro da integral é par ou ímpar e calcule a integral dada. .