Analise se a função dentro da integral é par ou ímpar e calcule a integral dada. integral-pi / 4^pi / 4 x^4 tan (x)2+cos (x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se a função dentro da integral é par ou ímpar e depois calcular a integral . Para isso, vamos precisar saber o que são funções pares e ímpares e como isso pode facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par ou ímpar.
  • Função Par:
  • Função Ímpar:

Passo 3

Vamos calcular f(-x) = (-x)^4 tan(-x)2 + cos(-x) :
f(-x) = x^4 cdot (-tan(x))2 + cos(x) = -x^4 tan(x)2 + cos(x) = -f(x)
Sabemos que:
  • (porque qualquer potência par de é positiva)
  • (a tangente é uma função ímpar)
  • (a cosseno é uma função par)
Substituindo:

Passo 4

Como , isso significa que a função é ímpar.

Passo 5

Existe uma propriedade bem legal das funções ímpares em integrais simétricas: se a função é ímpar e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero (isto é, vai de integral-a^a f(x) , dx = 0 se f(x) é ímpar até ), então a integral é igual a zero.
Matematicamente:
éí
No nosso caso, e a função é ímpar, então a integral vale zero.

Resposta

integral-pi / 4^pi / 4 x^4 tan (x)2+cos (x) , dx = 0

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