Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a natureza dos pontos críticos da função . Isso está na matéria de cálculo multivariável, mais especificamente no estudo de pontos críticos de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde essas derivadas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde e .
Primeiro, vamos igualar a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, ou .
Agora, vamos igualar a zero:
Dividindo por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, ou .
Os pontos críticos são combinações de e : , , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:

Passo 5

Vamos calcular o discriminante em cada ponto crítico:
  1. No ponto :
Como e , esse ponto é um mínimo local.
  1. No ponto :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. No ponto :
Como , esse ponto também é um ponto de sela.
  1. No ponto :
Como e , esse ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Mínimo local
  • : Ponto de sela
  • : Ponto de sela
  • : Máximo local

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