Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida . Essa questão trata de integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da integração por partes duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes do nosso integrando serão
e
. Vamos escolher:
Dessa forma, vamos calcular
e
:
(Nós integramos para achar
.)
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
Então, calculamos
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula novamente:
Então, temos:
Passo 6
Voltando à nossa equação original:
Simplificando:
Agora, vamos chamar , então:
Somando
dos dois lados:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos usar esse resultado para calcular a integral definida de 0 a
:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo: