Use integração por partes para calcular as seguintes integrais: integral0^pi e^x sen(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Essa questão trata de integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes do nosso integrando serão u = e^x e dv = sen(x) , dx e du = e^x , dx e v = -cos(x) . Vamos escolher:
Dessa forma, vamos calcular e :
(Nós integramos para achar .)

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^x e dv = cos(x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
du = e^x , dx e v = sen(x)
Então, calculamos e :

Passo 5

Aplicando a fórmula novamente:
Então, temos:

Passo 6

Voltando à nossa equação original:
Simplificando:
Agora, vamos chamar , então:
Somando integral e^x sen(x) , dx = -e^x cos(x) + ( e^x sen(x) - integral e^x sen(x) , dx ) dos dois lados:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos usar esse resultado para calcular a integral definida de 0 a integral0^pi e^x sen(x) , dx = e^x2 (sen(x) - cos(x)) |0^pi :
Calculando nos limites:
Para e^pi2 (sen(pi) - cos(pi)) = e^pi2 (0 - (-1)) = e^pi2 (1) = e^pi2 :
Para e^02 (sen(0) - cos(0)) = 12 (0 - 1) = -12 :
Subtraindo:
e^pi2 - (-12) = e^pi2 + 12 = e^pi + 12

Resposta

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