Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida . Essa questão trata de integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da integração por partes duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes do nosso integrando serão
e
. Vamos escolher:
Dessa forma, vamos calcular
e
:
(Nós integramos para achar
.)
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
Então, calculamos
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula novamente:
Então, temos:
Passo 6
Voltando à nossa equação original:
Simplificando:
Agora, vamos chamar , então:
Somando
dos dois lados:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos usar esse resultado para calcular a integral definida de 0 a
:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
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.
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
.
Avaliar por substituição trigonométrica:
ou
ou
.
.
Em cada um dos Problemas de 24 a 26, encontre a transformada de Laplace
da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3.
$y^{\prime \prime}+4 y=\left{ \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.
$y^{\prime \prime}+4 y=\left{