Use integração por partes para calcular as seguintes integrais: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Essa questão trata de integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula da integração por partes duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes do nosso integrando serão e . Vamos escolher:
Dessa forma, vamos calcular e :
(Nós integramos para achar .)

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar novamente a integração por partes, escolhendo:
Então, calculamos e :

Passo 5

Aplicando a fórmula novamente:
Então, temos:

Passo 6

Voltando à nossa equação original:
Simplificando:
Agora, vamos chamar , então:
Somando dos dois lados:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos usar esse resultado para calcular a integral definida de 0 a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

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$y^{\prime \prime}+4 y=\left{ \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.