Avaliar por substituição trigonométrica: ou ou . .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral aí usando substituição trigonométrica! O enunciado pede para integrar . Aqui, vamos usar trigonometria para facilitar a integração. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e como fazer substituições para simplificar integrais que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual substituição trigonométrica é mais adequada. Olhando para a expressão , vemos que temos a forma , onde . Para esse caso, a substituição recomendada é , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição:
Além disso, substituindo na raiz:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

A integral de é conhecida:
Portanto:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração. Quando :
E quando :

Passo 8

Agora avaliamos a antiderivada nos limites:
Calculando os valores:
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

A integral vale .

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