Avaliar por substituição trigonométrica: x=a sen theta ou x=a tan theta ou x=a sec theta. integral5 / 2^5 / raiz2 d xx^2 raiz25-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral aí usando substituição trigonométrica! O enunciado pede para integrar integral5 / 2^5 / raiz2 dxx^2 raiz25-x^2. Aqui, vamos usar trigonometria para facilitar a integração. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e como fazer substituições para simplificar integrais que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual substituição trigonométrica é mais adequada. Olhando para a expressão raiz25 - x^2, vemos que temos a forma raiza^2 - x^2, onde a = 5. Para esse caso, a substituição recomendada é x = a sin theta, ou seja, x = 5 sin theta.

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição:
x = 5 sin theta dx = 5 cos theta , dtheta
Além disso, substituindo na raiz:
raiz25 - x^2 = raiz25 - 25 sin^2 theta = 5 cos theta

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral dxx^2 raiz25 - x^2 = integral 5 cos theta , dtheta(25 sin^2 theta)(5 cos theta) = integral 5 cos theta125 sin^2 theta cdot 5 cos theta , dtheta
Simplificando os termos:
= integral 125 sin^2 theta , dtheta = 125 integral csc^2 theta , dtheta

Passo 5

A integral de csc^2 theta é conhecida:
integral csc^2 theta , dtheta = -cot theta + C
Portanto:
125 integral csc^2 theta , dtheta = -125 cot theta + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que:
x = 5 sin theta Rightarrow sin theta = x5 Rightarrow cot theta = cos thetasin theta = raiz1 - sin^2 thetasin theta = raiz25 - x^2x
Então:
-125 cot theta = -125 cdot raiz25 - x^2x

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração. Quando x = 52:
sin theta = 5/25 = 12 Rightarrow theta = pi6
E quando x = 5raiz2:
sin theta = 5/raiz25 = 1raiz2 Rightarrow theta = pi4

Passo 8

Agora avaliamos a antiderivada nos limites:
-125 [ raiz25 - x^2x ]pi/6^pi/4 = -125 ( raiz25 - (5raiz2)^25raiz2 - raiz25 - (52)^252 )
Calculando os valores:
Para x = 5raiz2:
raiz25 - 252 = raiz252 = 5raiz2 Rightarrow 5/raiz25/raiz2 = 1
Para x = 52:
raiz25 - 254 = raiz754 = 5raiz32 Rightarrow 5raiz3/25/2 = raiz3

Passo 9

Substituindo de volta:
-125 (1 - raiz3) = raiz3 - 125

Resposta

A integral vale dfracraiz3 - 125.

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