Analise a função
Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu a função
e pediu para analisar essa função e construir seu gráfico. Isso está dentro do conteúdo de funções quadráticas da matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções do segundo grau, como encontrar o vértice, determinar as raízes (ou zeros) da função, e entender a concavidade do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que fique mais fácil de trabalhar. A função é:
Podemos reorganizar os termos para destacar o termo quadrático:
Aqui, identificamos que o coeficiente de
é negativo (
), o que significa que o gráfico da função será uma parábola voltada para baixo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Isso nos dá os pontos onde a parábola intercepta o eixo
. Temos:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
-
→
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico, dependendo da concavidade. Como já vimos, a parábola está voltada para baixo. A fórmula para encontrar a coordenada
do vértice é:
Na nossa função
,
e
. Então:
Agora, para encontrar a coordenada
do vértice, substituímos
na função:
Então, o vértice é
.
Passo 5
Vamos também determinar o valor de
, que é o ponto onde a parábola intercepta o eixo
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Concavidade: Para baixo, pois
é negativo. - Raízes:
e . - Vértice:
. - Ponto de interseção com o eixo
: .
Isso nos dá pontos suficientes para desenhar uma parábola que começa no ponto
, alcança o vértice em
e desce novamente até cruzar o eixo
em
.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola com concavidade para baixo, que intercepta o eixo
nos pontos
e
, e possui seu vértice no ponto
. A parábola sobe até o vértice e depois desce, formando uma curva simétrica em torno do eixo vertical que passa pelo vértice.
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Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um hiperboloide de duas folhas e faça um esboço da superfície.
(a) .
(a)
Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto ordinário
dado.
.
Considere a equação
© Agora, calcule
e expresse
como uma função de
e
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
e