Analise a função f(x) = 48 x - 6 x^2 Construa o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função e pediu para analisar essa função e construir seu gráfico. Isso está dentro do conteúdo de funções quadráticas da matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções do segundo grau, como encontrar o vértice, determinar as raízes (ou zeros) da função, e entender a concavidade do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que fique mais fácil de trabalhar. A função é:
Podemos reorganizar os termos para destacar o termo quadrático:
Aqui, identificamos que o coeficiente de é negativo ( ), o que significa que o gráfico da função será uma parábola voltada para baixo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso nos dá os pontos onde a parábola intercepta o eixo . Temos:
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico, dependendo da concavidade. Como já vimos, a parábola está voltada para baixo. A fórmula para encontrar a coordenada do vértice é:
Na nossa função , e . Então:
Agora, para encontrar a coordenada do vértice, substituímos na função:
Então, o vértice é .

Passo 5

Vamos também determinar o valor de , que é o ponto onde a parábola intercepta o eixo :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Concavidade: Para baixo, pois é negativo.
  • Raízes: e .
  • Vértice: .
  • Ponto de interseção com o eixo : .
Isso nos dá pontos suficientes para desenhar uma parábola que começa no ponto , alcança o vértice em e desce novamente até cruzar o eixo em .

Resposta

O gráfico da função é uma parábola com concavidade para baixo, que intercepta o eixo nos pontos e , e possui seu vértice no ponto . A parábola sobe até o vértice e depois desce, formando uma curva simétrica em torno do eixo vertical que passa pelo vértice.

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