Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto ordinário
dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem maneira:
O objetivo é resolver essa equação usando uma série de potências em torno do ponto ordinário
. Isso significa que vamos encontrar uma solução para
que é uma soma de potências de
, tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série:
Essas expressões vão ser usadas na equação original.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar cada termo.
Passo 5
Distribuindo
na segunda derivada:
Isso fica:
Passo 6
Vamos reescrever os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Fazendo uma mudança de índice na primeira soma
:
Agora, substituímos
por
:
Passo 7
Agora, a segunda parte da equação:
E a terceira parte:
Passo 8
Vamos juntar tudo:
Para igualar a zero, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero.
Passo 9
Vamos ajustar os índices para combinar as séries:
Agora, vamos renomear os índices para todas as séries começarem com
.
Passo 10
Juntando tudo em uma única soma:
Para todas as potências de
, os coeficientes devem ser iguais a zero.
Passo 11
Isso nos dá a seguinte relação de recorrência:
Podemos simplificar dividindo por
:
Resolvendo para
:
Passo 12
Agora, precisamos definir os valores iniciais. Geralmente, escolhemos
e
como constantes arbitrárias, já que a solução é geral.
Então, temos:
Com
e
sendo constantes arbitrárias.
Passo 13
Finalmente, a solução geral em série de potências é:
Onde os termos seguintes são calculados usando a relação de recorrência que encontramos.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é uma série de potências dada por:
onde os coeficientes
e
são determinados pela relação de recorrência:
com
e
sendo constantes arbitrárias.
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