Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto ordinário x_0 dado. (2+x^2) y'' - x y' + 4 y = 0, x0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem maneira:
O objetivo é resolver essa equação usando uma série de potências em torno do ponto ordinário . Isso significa que vamos encontrar uma solução para que é uma soma de potências de , tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série:
Essas expressões vão ser usadas na equação original.

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar cada termo.

Passo 5

Distribuindo na segunda derivada:
Isso fica:

Passo 6

Vamos reescrever os índices para que todas as séries tenham a mesma potência de . Fazendo uma mudança de índice na primeira soma :
Agora, substituímos por :

Passo 7

Agora, a segunda parte da equação:
E a terceira parte:

Passo 8

Vamos juntar tudo:
Para igualar a zero, os coeficientes de cada potência de devem ser zero.

Passo 9

Vamos ajustar os índices para combinar as séries:
Agora, vamos renomear os índices para todas as séries começarem com .

Passo 10

Juntando tudo em uma única soma:
Para todas as potências de , os coeficientes devem ser iguais a zero.

Passo 11

Isso nos dá a seguinte relação de recorrência:
Podemos simplificar dividindo por :
Resolvendo para :

Passo 12

Agora, precisamos definir os valores iniciais. Geralmente, escolhemos e como constantes arbitrárias, já que a solução é geral.
Então, temos:
Com e sendo constantes arbitrárias.

Passo 13

Finalmente, a solução geral em série de potências é:
Onde os termos seguintes são calculados usando a relação de recorrência que encontramos.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é uma série de potências dada por:
onde os coeficientes e são determinados pela relação de recorrência:
com e sendo constantes arbitrárias.

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