Considere a equação
© Agora, calcule
e expresse
como uma função de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo, mais especificamente equações diferenciais. Para resolver essa parte ©, precisamos calcular
e expressar
como uma função de
,
e
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos introduzir uma nova variável
para simplificar a equação. Suponhamos que
. Isso ajuda a transformar a equação original em algo mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui usamos a regra da derivada para somas, onde a derivada de
é 1 e a derivada de
é
.
Passo 4
Vamos isolar
na equação acima:
Isso nos dá
em termos de
.
Passo 5
Agora, substituímos
na equação original pela expressão que encontramos:
Como
, podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 6
Substituindo
na equação:
Passo 7
Agora, queremos expressar
em termos de
,
e
. Já temos:
E
algo em termos de
e
. Para manter tudo em termos de
,
e
, podemos deixar a equação assim:
Resposta
Após os cálculos, temos que:
Ou seja,
está expressa como uma função de
,
e
.
Exercícios relacionados
Analise a função
Construa o gráfico.
Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um hiperboloide de duas folhas e faça um esboço da superfície.
(a) .
(a)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
e
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(f)
(f)