Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um hiperboloide de duas folhas e faça um esboço da superfície.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para transformar a equação
na forma padrão de um hiperboloide de duas folhas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos as diferentes superfícies no espaço. Para isso, vamos precisar rearranjar a equação e identificar os coeficientes certos para chegar à forma padrão desse tipo de hiperboloide.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes. A equação original é:
Vamos mover o 8 para o outro lado da igualdade:
Passo 3
Agora, queremos que os coeficientes dos termos quadráticos fiquem isolados. Para isso, vamos dividir todos os termos por 8 para facilitar a comparação com a forma padrão:
Simplificando cada fração:
Passo 4
A forma padrão de um hiperboloide de duas folhas é:
Observe que o sinal negativo está associado ao termo
, o que nos ajuda a identificar que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados da nossa equação por -1 para ajustar os sinais:
Agora, a equação está na forma padrão de um hiperboloide de duas folhas.
Passo 6
Identificamos os valores de
,
e
comparando com a forma padrão:
-
então -
então -
então
Passo 7
Para esboçar o hiperboloide de duas folhas, lembramos que ele possui duas partes simétricas em relação ao plano
. As duas “folhas” se abrem ao longo do eixo
. Com os valores de
,
e
, podemos desenhar as seções:
- Plano
: Quando , a equação se torna , o que não tem solução real, indicando que não há interseção com o plano . - Plano
: Definindo , temos , que representa uma hipérbole. - Plano
: Definindo , temos , que também é uma hipérbole.
Resposta
A equação
reduzida à forma padrão de um hiperboloide de duas folhas é:
O esboço da superfície consiste em duas folhas simétricas ao longo do eixo
, cada uma abrindo-se infinitamente para cima e para baixo.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto ordinário
dado.
.
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
©
©
Analise a função
Construa o gráfico.
Considere a equação
© Agora, calcule
e expresse
como uma função de
e
.