Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um hiperboloide de duas folhas e faça um esboço da superfície.
(a) -x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 8 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para transformar a equação -x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 8 = 0 na forma padrão de um hiperboloide de duas folhas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos as diferentes superfícies no espaço. Para isso, vamos precisar rearranjar a equação e identificar os coeficientes certos para chegar à forma padrão desse tipo de hiperboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes. A equação original é:
Vamos mover o 8 para o outro lado da igualdade:

Passo 3

Agora, queremos que os coeficientes dos termos quadráticos fiquem isolados. Para isso, vamos dividir todos os termos por 8 para facilitar a comparação com a forma padrão:
Simplificando cada fração:

Passo 4

A forma padrão de um hiperboloide de duas folhas é:
Observe que o sinal negativo está associado ao termo z^2, o que nos ajuda a identificar que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.

Passo 5

Vamos multiplicar ambos os lados da nossa equação por -1 para ajustar os sinais:
Agora, a equação está na forma padrão de um hiperboloide de duas folhas.

Passo 6

Identificamos os valores de a, b e c comparando com a forma padrão:
  • então
  • então
  • então

Passo 7

Para esboçar o hiperboloide de duas folhas, lembramos que ele possui duas partes simétricas em relação ao plano z = 0. As duas “folhas” se abrem ao longo do eixo z. Com os valores de a, b e c, podemos desenhar as seções:
  • Plano xy: Quando z = 0, a equação se torna , o que não tem solução real, indicando que não há interseção com o plano xy.
  • Plano : Definindo y = 0, temos , que representa uma hipérbole.
  • Plano : Definindo x = 0, temos , que também é uma hipérbole.

Resposta

A equação -x^2 - 4y^2 + 2z^2 - 8 = 0 reduzida à forma padrão de um hiperboloide de duas folhas é:
O esboço da superfície consiste em duas folhas simétricas ao longo do eixo z, cada uma abrindo-se infinitamente para cima e para baixo.

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potências em torno do ponto ordinário x_0 dado. (2+x^2) y'' - x y' + 4 y = 0, x0 = 0.
Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação dy/dx = raiz(1 - y^2), qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
© (0, 2 pi)
Analise a função f(x) = 48 x - 6 x^2 Construa o gráfico.
Considere a equação
d y/d x = (y - 4 x)/(x - y)
© Agora, calcule d v / d x e expresse d/y d/x como uma função de x, v e d v / d x.