Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região no plano ao redor do eixo
. A região definida é onde
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região que estamos girando. A condição
significa que estamos acima da curva
. Essa curva começa em
porque o radicando precisa ser não negativo. Então, nossa região está limitada por
a
,
a
, e acima da curva
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, é melhor reescrever a equação da curva em termos de
. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso nos dá
em função de
, o que facilita o uso do método dos discos.
Passo 4
O método dos discos envolve integrar a área de discos circulares que formam o sólido quando giramos a região. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
é o raio do disco em função de
, e
e
são os limites de integração no eixo
.
Passo 5
Identificando
para nosso caso, o raio do disco é a distância do eixo
até a curva
. Portanto,
. Os limites de
vão de
a
, já que nossa região está limitada por
.
Passo 6
Agora, vamos montar a integral para o volume:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Somando todas as integrais:
Passo 9
Multiplicando pelo
para obter o volume final:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Considere a equação
© Agora, calcule
e expresse
como uma função de
e
.
Analise a função
Construa o gráfico.
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(f)
(f)
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j)
(j)