Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que: 0 <= x <= 6, 0 <= y <= 2 e y ≥ raiz(x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região no plano ao redor do eixo . A região definida é onde , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região que estamos girando. A condição significa que estamos acima da curva . Essa curva começa em porque o radicando precisa ser não negativo. Então, nossa região está limitada por a , a , e acima da curva .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , é melhor reescrever a equação da curva em termos de . A equação pode ser rearranjada para . Isso nos dá em função de , o que facilita o uso do método dos discos.

Passo 4

O método dos discos envolve integrar a área de discos circulares que formam o sólido quando giramos a região. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração no eixo .

Passo 5

Identificando para nosso caso, o raio do disco é a distância do eixo até a curva . Portanto, . Os limites de vão de a , já que nossa região está limitada por .

Passo 6

Agora, vamos montar a integral para o volume:
Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Somando todas as integrais:

Passo 9

Multiplicando pelo para obter o volume final:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Considere a equação
d y/d x = (y - 4 x)/(x - y)
© Agora, calcule d v / d x e expresse d/y d/x como uma função de x, v e d v / d x.
Analise a função f(x) = 48 x - 6 x^2 Construa o gráfico.
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(f) y' - 2y = t e^(2t), y(1) = 0
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(j) d y/d x + tg(x) y = 3 ; y(0) = 2