Analise o gráfico da função
seguindo as etapas:
Esboce o seu gráfico.
Esboce o seu gráfico.
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o gráfico da função
. Isso envolve entender como essa função se comporta, quais são seus pontos importantes e como desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, domínio, assíntotas, interceptações e comportamento assintótico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. A função logarítmica
só é definida quando
. Então, precisamos ter:
Vamos analisar isso:
-
não pode ser igual a 0, pois isso tornaria a fração indefinida. - A expressão
será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal.
Vamos considerar os intervalos:
-
: -
-
- Ambos negativos, então a expressão é positiva.
-
-
: -
-
- Sinais diferentes, então a expressão é negativa.
-
-
: -
-
- Ambos positivos, então a expressão é positiva.
-
Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assimptotas da função.
-
Assíntota vertical:
- Ocorre onde a função tende ao infinito, geralmente onde a função não está definida.
- A função não está definida em
e . - Vamos verificar o comportamento próximo a esses pontos.
Parase aproximando de 0 pela direita ( ): Parase aproximando de 0 pela esquerda ( ): Parase aproximando de -1 pela direita ( ): Portanto, temos assíntotas verticais eme . -
Assíntota horizontal:
- Observamos o comportamento da função para
.
Para: Para: Então, a função tem uma assíntota horizontal em. - Observamos o comportamento da função para
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
-
Interseção com o eixo
: - Quando
(pois ), mas na verdade:
Para encontrar ondecruza o eixo , precisamos encontrar . Porém,não está no domínio. Portanto, a função não intercepta o eixo . - Quando
-
Interseção com o eixo
: - Quando
:
Não há solução real, então a função não intercepta o eixo. - Quando
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo do domínio.
-
Para
: -
- Conforme
aumenta, , então - A função é decrescente porque à medida que
aumenta, diminui.
-
-
Para
: -
- Conforme
se aproxima de , , então - A função é crescente porque à medida que
se aproxima de por valores menores, aumenta.
-
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
:
- O domínio é
. - Há assíntotas verticais em
e , e uma assíntota horizontal em . - A função não intercepta os eixos.
- Para
, a função é decrescente rumo a . - Para
, a função é crescente rumo a .
Resposta
O gráfico da função
apresenta duas partes:
- Para
, a curva desce de até se aproximar da assíntota horizontal . - Para
, a curva sobe de até se aproximar da assíntota horizontal .
As assíntotas verticais estão em
e
, e a assíntota horizontal está em
. A função não intercepta os eixos
e
.
Gráfico Esperado
![Gráfico da função](https://i.imgur.com/Gr%C3%A1ficoExemplo.png)
(Nota: Substitua o link pela imagem correta do gráfico conforme descrito.)
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é:
onde
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Encontre a posição da gota como função do tempo, ou seja,
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Encontre suas assíntotas horizontais.
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1 ponto <br> 2 pontos <br> 2 pontos <br> 4 pontos <br> 4 pontos |
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