Analise o gráfico da função
seguindo as etapas:
Esboce o seu gráfico.

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o gráfico da função . Isso envolve entender como essa função se comporta, quais são seus pontos importantes e como desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, domínio, assíntotas, interceptações e comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. A função logarítmica só é definida quando . Então, precisamos ter:
Vamos analisar isso:
  • não pode ser igual a 0, pois isso tornaria a fração indefinida.
  • A expressão será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal.
Vamos considerar os intervalos:
  1. :
    • Ambos negativos, então a expressão é positiva.
  2. :
    • Sinais diferentes, então a expressão é negativa.
  3. :
    • Ambos positivos, então a expressão é positiva.
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assimptotas da função.
  1. Assíntota vertical:
    • Ocorre onde a função tende ao infinito, geralmente onde a função não está definida.
    • A função não está definida em e .
    • Vamos verificar o comportamento próximo a esses pontos.
    Para se aproximando de 0 pela direita ( ):
    Para se aproximando de 0 pela esquerda ( ):
    ãáçã
    Para se aproximando de -1 pela direita ( ):
    Portanto, temos assíntotas verticais em e .
  2. Assíntota horizontal:
    • Observamos o comportamento da função para .
    Para :
    Para :
    Então, a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
  1. Interseção com o eixo :
    • Quando (pois ), mas na verdade:
    Para encontrar onde cruza o eixo , precisamos encontrar .
    Porém, não está no domínio. Portanto, a função não intercepta o eixo .
  2. Interseção com o eixo :
    • Quando :
    Não há solução real, então a função não intercepta o eixo .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo do domínio.
  1. Para :
    • Conforme aumenta, , então
    • A função é decrescente porque à medida que aumenta, diminui.
  2. Para :
    • Conforme se aproxima de , , então
    • A função é crescente porque à medida que se aproxima de por valores menores, aumenta.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função :
  • O domínio é .
  • Há assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em .
  • A função não intercepta os eixos.
  • Para , a função é decrescente rumo a .
  • Para , a função é crescente rumo a .

Resposta

O gráfico da função apresenta duas partes:
  1. Para , a curva desce de até se aproximar da assíntota horizontal .
  2. Para , a curva sobe de até se aproximar da assíntota horizontal .
As assíntotas verticais estão em e , e a assíntota horizontal está em . A função não intercepta os eixos e .

Gráfico Esperado

Gráfico da função
(Nota: Substitua o link pela imagem correta do gráfico conforme descrito.)

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