É possível mostrar que, sob certas condições, a velocidade v(t) de uma gota de chuva caindo no instante t é:
v(t) = v* (1 - exp(-g t / v*))
onde g é a aceleração da gravidade e v* é a velocidade final da gota.
Encontre a posição da gota como função do tempo, ou seja, y(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve a velocidade v(t) de uma gota de chuva em função do tempo t. O lance é encontrar a posição y(t) dessa gota ao longo do tempo. Isso está relacionado com o estudo de movimento em Física, especificamente com as relações entre velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Ou seja, se a gente tem a velocidade, para achar a posição, precisamos fazer uma integração dessa velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Então, vamos escrever a expressão para a posição y(t) como a integral da velocidade v(t):
Aqui, C é a constante de integração que vamos determinar depois.

Passo 4

Vamos substituir a expressão de v(t) que a gente tem:
Agora, vamos separar a integral:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais:
  1. A integral de 1 em relação a t é simplesmente t.
  2. A integral de em relação a t é .
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos determinar a constante C usando a condição inicial. Normalmente, consideramos que a posição no tempo é zero, ou seja, .
Substituindo na equação:
Como :

Passo 7

Agora, substituímos C de volta na equação de y(t):
Podemos simplificar isso agrupando os termos:

Resposta

A posição da gota em função do tempo é:

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