É possível mostrar que, sob certas condições, a velocidade
de uma gota de chuva caindo no instante
é:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a velocidade final da gota.
Encontre a posição da gota como função do tempo, ou seja,
.
Encontre a posição da gota como função do tempo, ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve a velocidade
de uma gota de chuva em função do tempo
. O lance é encontrar a posição
dessa gota ao longo do tempo. Isso está relacionado com o estudo de movimento em Física, especificamente com as relações entre velocidade e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Ou seja, se a gente tem a velocidade, para achar a posição, precisamos fazer uma integração dessa velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Então, vamos escrever a expressão para a posição
como a integral da velocidade
:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar depois.
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
que a gente tem:
Agora, vamos separar a integral:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais:
- A integral de 1 em relação a
é simplesmente . - A integral de
em relação a é .
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos determinar a constante
usando a condição inicial. Normalmente, consideramos que a posição no tempo
é zero, ou seja,
.
Substituindo
na equação:
Como
:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação de
:
Podemos simplificar isso agrupando os termos:
Resposta
A posição da gota em função do tempo é:
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