Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das funções

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral, e queremos encontrar a derivada dessa função. A matéria que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma função que tem limites variáveis de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que queremos derivar:
Aqui, o limite inferior da integral é e o limite superior é . Nosso objetivo é encontrar , a derivada de .

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que, se temos uma função definida por uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Vamos identificar cada parte dessa fórmula para o nosso caso:

Passo 4

Aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo à nossa função , temos:
Vamos simplificar isso:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Analise o gráfico da função
seguindo as etapas:
Encontre seus máximos e mínimos locais.
Calcule a integral
Analise o gráfico da função
seguindo as etapas:
Esboce o seu gráfico.
É possível mostrar que, sob certas condições, a velocidade de uma gota de chuva caindo no instante é:
onde é a aceleração da gravidade e é a velocidade final da gota.
Encontre a posição da gota como função do tempo, ou seja, .