Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das funções
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral, e queremos encontrar a derivada dessa função. A matéria que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma função que tem limites variáveis de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que queremos derivar:
Aqui, o limite inferior da integral é
e o limite superior é
. Nosso objetivo é encontrar
, a derivada de
.
Passo 3
O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que, se temos uma função definida por uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Vamos identificar cada parte dessa fórmula para o nosso caso:
-
-
→ -
→
Passo 4
Aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo à nossa função
, temos:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A derivada da função
é:
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seguindo as etapas:
Encontre seus máximos e mínimos locais.
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Calcule a integral
Analise o gráfico da função
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Esboce o seu gráfico.
Esboce o seu gráfico.
É possível mostrar que, sob certas condições, a velocidade
de uma gota de chuva caindo no instante
é:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a velocidade final da gota.
Encontre a posição da gota como função do tempo, ou seja, .
Encontre a posição da gota como função do tempo, ou seja,