Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das funções
g(x)=integralx^x^2 cos (t^2) d t

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral, e queremos encontrar a derivada dessa função. A matéria que vamos usar é o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma função que tem limites variáveis de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que queremos derivar:
g(x) = integralx^x^2 cos(t^2) , dt
Aqui, o limite inferior da integral é e o limite superior é . Nosso objetivo é encontrar , a derivada de .

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que, se temos uma função definida por uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
ddx ( integrala(x)^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Vamos identificar cada parte dessa fórmula para o nosso caso:

Passo 4

Aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo à nossa função g'(x) = cos( (x^2)^2 ) cdot (2x) - cos( x^2 ) cdot (1) , temos:
g'(x) = cos(x^4) cdot 2x - cos(x^2)
Vamos simplificar isso:

Resposta

A derivada da função g'(x) = 2x cdot cos(x^4) - cos(x^2) é:

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