Analise a situação abaixo:

Diante da situação apresentada, avalie as afirmativas abaixo:
I. A igualdade apresentada é verdadeira, uma vez que foram mantidas as propriedades da função no intervalo.
II. As integrais do lado direito são impróprias, pois possuem intervalos infinitos.
III. A integral da esquerda converge para 1.
É correto o que se afirma em:
A) II, apenas.
B) II e III, apenas.
C) I e II, apenas.
D) III, apenas.
x E) I, apenas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma igualdade envolvendo integrais definidas da função . A questão pede para analisarmos três afirmações sobre essa igualdade e identificar quais estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais definidas, integrais impróprias e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a igualdade apresentada:
Essa igualdade está dividindo a integral de a em duas partes: de a e de a .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das afirmações:
Afirmação I: “A igualdade apresentada é verdadeira, uma vez que foram mantidas as propriedades da função no intervalo.”
Aqui, a propriedade usada é a de que a integral de uma função sobre um intervalo pode ser dividida em somas de integrais sobre subintervalos, desde que a função seja contínua nesses intervalos. No caso, é uma função polinomial, que é contínua em todo o seu domínio. Então, a igualdade está correta.
Afirmação II: “As integrais do lado direito são impróprias, pois possuem intervalos infinitos.”
Uma integral é chamada de imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função apresenta descontinuidade no intervalo. No caso, tem um intervalo que vai até , então é uma integral imprópria. Já tem intervalo finito, então não é imprópria. Portanto, apenas uma das integrais do lado direito é imprópria.
Afirmação III: “A integral da esquerda converge para 1.”
Vamos calcular a integral da esquerda:
Para saber se essa integral converge, observamos o comportamento de quando vai para . Como cresce sem limite quando tende a , a integral não converge, ou seja, ela diverge.

Passo 4

Resumindo as análises:
  • Afirmação I: Correta.
  • Afirmação II: Parcialmente correta (apenas uma das integrais é imprópria).
  • Afirmação III: Incorreta.

Resposta

E) I, apenas.

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(iii) Quais das seguintes funções abaixo são pares e quais são ímpares:
a) , para .
dada a função
b) Escreva a equação da curva de nível c e a represente no plano xy.
Analise a integral dada abaixo: <br> Diante da integral acima, analise as afirmativas a seguir: <br> I. Trata-se de uma integral de Remann definida num intervalo infinito. <br> II. Seus limites de integração indicam um intervalo que cresce no infinito, caracterizando-a como imprópria. <br> III. Seu resultado converge para 1. <br> Estão corretas apenas as afirmativas:
A) I e II, apenas.
B) II e III, apenas.
C) II, apenas.
xD) I, apenas.
E) I e III, apenas.
Considere a função
Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que