Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos analisar a natureza dos pontos críticos da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao estudo da concavidade da função para entender se os pontos críticos são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .

Passo 5

Resolvendo a equação (2) para :
Substituindo na equação (1):
Então, . O ponto crítico é .

Passo 6

Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Calculamos o discriminante :
Como e , o ponto crítico é um ponto de mínimo local.

Resposta

O ponto crítico é um ponto de mínimo local da função .

Exercícios relacionados

Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: ;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função. .
Use substituição para calcular as seguintes integrais: .