Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções: f(x, y) = x^2 + x*y + y^2 - 6*x + 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos analisar a natureza dos pontos críticos da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao estudo da concavidade da função para entender se os pontos críticos são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .

Passo 5

Resolvendo a equação (2) para :
Substituindo na equação (1):
Então, . O ponto crítico é .

Passo 6

Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Calculamos o discriminante :
Como e , o ponto crítico é um ponto de mínimo local.

Resposta

O ponto crítico é um ponto de mínimo local da função .

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