Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos analisar a natureza dos pontos críticos da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao estudo da concavidade da função para entender se os pontos críticos são mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde todas as derivadas parciais da função são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Resolvendo a equação (2) para
:
Substituindo
na equação (1):
Então,
. O ponto crítico é
.
Passo 6
Para determinar a natureza desse ponto crítico, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, o ponto crítico é um ponto de mínimo local.
Resposta
O ponto crítico
é um ponto de mínimo local da função
.
Exercícios relacionados
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
.
Use substituição para calcular as seguintes integrais:
.