Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os quatro primeiros termos da sequência
, analisar se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico conforme
aumenta) e descobrir o limite caso exista. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências, exponenciais e como os sinais alternam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência substituindo
por 1, 2, 3 e 4 na fórmula
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, os quatro primeiros termos são aproximadamente:
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a convergência da sequência. Convergência significa que, conforme
cresce, os termos da sequência se aproximam de um número fixo, chamado de limite.
Observando a nossa sequência
:
- O termo
alterna os sinais da sequência: positivo, negativo, positivo, negativo, e assim por diante. - O termo
é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme aumenta.
Isso significa que, à medida que
aumenta, os valores de
ficam cada vez maiores em magnitude, alternando entre positivos e negativos. Por exemplo,
para
já é aproximadamente 22026, e para
é um número gigantesco.
Passo 4
Como os termos da sequência estão aumentando sem limites enquanto alternam de sinal, não existe um número específico para o qual a sequência está se aproximando. Em vez disso, os termos ficam cada vez maiores em magnitude, indo para positivo e negativo infinitamente.
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são
,
,
e
. A sequência não converge, ou seja, não possui limite.
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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:
.
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
.