Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem os limites de integração sendo funções de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Esse teorema nos diz que se , então a derivada de em relação a é simplesmente . Mas, no nosso caso, tanto o limite inferior quanto o superior da integral dependem de , então vamos precisar adaptar um pouco essa ideia.

Passo 3

Quando ambos os limites de integração são funções de , usamos a regra de Leibniz para derivar a integral. A fórmula geral é:
Ou seja, derivamos a integral avaliando a função integranda nos limites de integração e multiplicando pelas derivadas desses limites.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso problema:
Aqui, e . Vamos encontrar e :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função integranda nos limites:

Passo 6

Agora, aplicamos a regra de Leibniz:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

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Use integração por partes para calcular as seguintes integrais: .