Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função. F(x)=integral2 x^3 x t^2-1t^2+1 d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem os limites de integração sendo funções de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Esse teorema nos diz que se , então a derivada de em relação a é simplesmente . Mas, no nosso caso, tanto o limite inferior quanto o superior da integral dependem de , então vamos precisar adaptar um pouco essa ideia.

Passo 3

Quando ambos os limites de integração são funções de ddx ( integralu(x)^v(x) f(t) , dt ) = f(v(x)) cdot v'(x) - f(u(x)) cdot u'(x) , usamos a regra de Leibniz para derivar a integral. A fórmula geral é:
Ou seja, derivamos a integral avaliando a função integranda nos limites de integração e multiplicando pelas derivadas desses limites.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso problema:
F(x) = integral2x^3x t^2 - 1t^2 + 1 , dt
Aqui, u'(x) = 2 e v'(x) = 3 e . Vamos encontrar e :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função integranda nos limites:
f(v(x)) = (3x)^2 - 1(3x)^2 + 1 = 9x^2 - 19x^2 + 1
f(u(x)) = (2x)^2 - 1(2x)^2 + 1 = 4x^2 - 14x^2 + 1

Passo 6

Agora, aplicamos a regra de Leibniz:
F'(x) = f(v(x)) cdot v'(x) - f(u(x)) cdot u'(x) = 9x^2 - 19x^2 + 1 cdot 3 - 4x^2 - 14x^2 + 1 cdot 2
Simplificando:
F'(x) = 3 cdot 9x^2 - 19x^2 + 1 - 2 cdot 4x^2 - 14x^2 + 1

Resposta

A derivada da função F'(x) = 3 cdot 9x^2 - 19x^2 + 1 - 2 cdot 4x^2 - 14x^2 + 1 é:

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