Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função
usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral que tem os limites de integração sendo funções de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Esse teorema nos diz que se
, então a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Mas, no nosso caso, tanto o limite inferior quanto o superior da integral dependem de
, então vamos precisar adaptar um pouco essa ideia.
Passo 3
Quando ambos os limites de integração são funções de
, usamos a regra de Leibniz para derivar a integral. A fórmula geral é:
Ou seja, derivamos a integral avaliando a função integranda nos limites de integração e multiplicando pelas derivadas desses limites.
Passo 4
Aplicando essa regra ao nosso problema:
Aqui,
e
. Vamos encontrar
e
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função integranda nos limites:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra de Leibniz:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:
.
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
;
Use substituição para calcular as seguintes integrais:
.
Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
.