Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Vamos analisar a sequência . Nosso objetivo é determinar se essa sequência é convergente ou divergente. Para isso, precisamos entender como o fatorial se comporta à medida que cresce e aplicar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para o fatorial de um número grande. A fórmula de Stirling é dada por:
Essa aproximação nos ajuda a simplificar expressões que envolvem fatoriais, facilitando a análise de limites.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Stirling na expressão da sequência :
Calculando o numerador:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Observamos que decresce exponencialmente para zero, enquanto cresce linearmente. A taxa de decrescimento exponencial de domina o crescimento linear de , fazendo com que o produto total tenda a zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Defina precisamente conjunto de conteúdo nulo em .
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: ;
Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções: .