Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite. a_n = (n!)^2 / n^(2n)

Passo 1

Vamos analisar a sequência . Nosso objetivo é determinar se essa sequência é convergente ou divergente. Para isso, precisamos entender como o fatorial se comporta à medida que cresce e aplicar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para o fatorial de um número grande. A fórmula de Stirling é dada por:
Essa aproximação nos ajuda a simplificar expressões que envolvem fatoriais, facilitando a análise de limites.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Stirling na expressão da sequência :
Calculando o numerador:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de quando tende ao infinito:
Observamos que decresce exponencialmente para zero, enquanto cresce linearmente. A taxa de decrescimento exponencial de domina o crescimento linear de , fazendo com que o produto total tenda a zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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