Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. Nosso objetivo é determinar se essa sequência é convergente ou divergente. Para isso, precisamos entender como o fatorial
se comporta à medida que
cresce e aplicar conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos utilizar a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para o fatorial de um número grande. A fórmula de Stirling é dada por:
Essa aproximação nos ajuda a simplificar expressões que envolvem fatoriais, facilitando a análise de limites.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Stirling na expressão da sequência
:
Calculando o numerador:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Observamos que
decresce exponencialmente para zero, enquanto
cresce linearmente. A taxa de decrescimento exponencial de
domina o crescimento linear de
, fazendo com que o produto total tenda a zero.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Defina precisamente conjunto de conteúdo nulo em
.
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
;
Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:
.