Use substituição para calcular as seguintes integrais: integral1^2 4(x+1)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que é . O conteúdo aqui é Cálculo Integral, mais especificamente, o método de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por outra variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente. Observando o denominador , parece uma boa ideia deixar . Isso vai simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a para encontrar . Se , então a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso significa que podemos substituir por na integral.

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração para a variável . Quando , substituindo na equação , temos . Quando , então . Portanto, nossa nova integral terá limites de a .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral1^2 4(x+1)^2 dx = integral2^3 4u^2 du :

Passo 6

Essa nova integral é mais simples de resolver. Vamos integrar integral 4u^2 du = 4 integral u^-2 du = 4 ( u^-1-1 ) + C = -4u + C em relação a . Lembrando que pode ser escrito como , e a integral de é quando .

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de [ -4u ]2^3 = -43 - ( -42 ) = -43 + 2 = -4 + 63 = 23 a na antiderivada que encontramos:

Resposta

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