Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a natureza dos pontos críticos da função . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, onde precisamos encontrar onde a função tem pontos críticos (talvez máximos, mínimos ou pontos de sela). Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , igualá-las a zero, e então analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero.

Passo 4

Temos um sistema de equações:
Vamos substituir da equação (1) na equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
Então, ou .
Correspondente a cada :
  • Se , então .
  • Se , então .
Portanto, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas de segunda ordem:

Passo 6

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana para cada ponto crítico:
Vamos calcular para :
E para :

Passo 7

Agora, vamos interpretar o valor de :
  • Se e , é um mínimo relativo.
  • Se e , é um máximo relativo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Para :
Para :
í

Resposta

A função possui dois pontos críticos:
  1. é um ponto de sela.
  2. é um mínimo relativo.

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