Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar a natureza dos pontos críticos da função
. Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, onde precisamos encontrar onde a função tem pontos críticos (talvez máximos, mínimos ou pontos de sela). Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualá-las a zero, e então analisar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero.
Passo 4
Temos um sistema de equações:
Vamos substituir
da equação (1) na equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Então,
ou
.
Correspondente a cada
:
- Se
, então . - Se
, então .
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas de segunda ordem:
Passo 6
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana
para cada ponto crítico:
Vamos calcular para
:
E para
:
Passo 7
Agora, vamos interpretar o valor de
:
- Se
e , é um mínimo relativo. - Se
e , é um máximo relativo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Para
:
Para
:
Resposta
A função
possui dois pontos críticos:
-
é um ponto de sela. -
é um mínimo relativo.
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