Use integração por partes para calcular as seguintes integrais: integral0^pi / 2 x sen(x) d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui onde temos integral0^pi / 2 x cdot sen(x) , dx e . Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar qual parte da integral será diferenciada e qual será integrada.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Primeiro, escolhemos u e dv:
  • Seja u = x. Então, a derivada du = dx.
  • Seja . Então, integramos para encontrar dv = sen(x) , dx. A integral de é v, então sen(x).

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
integral0^pi / 2 x cdot sen(x) , dx = [ u cdot v ]0^pi / 2 - integral0^pi / 2 v cdot du

Passo 4

Calculamos a primeira parte [ x cdot (-cos(x)) ]0^pi / 2:
= ( pi2 cdot (-cos(pi2)) ) - ( 0 cdot (-cos(0)) )
Sabemos que cos(pi2) = 0 e cos(0) = 1, então:
= ( pi2 cdot 0 ) - (0 cdot (-1)) = 0 - 0 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral - integral0^pi / 2 (-cos(x)) , dx:
= integral0^pi / 2 cos(x) , dx
A integral de cos(x) é , então avaliamos de sen(x) a 0:

Resposta

Portanto, o valor da integral é 1.

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