Use integração por partes para calcular as seguintes integrais: .

Passo 1

Vamos resolver a integral definida usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui onde temos e . Para aplicar a integração por partes, precisamos identificar qual parte da integral será diferenciada e qual será integrada.

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
Primeiro, escolhemos e :
  • Seja . Então, a derivada .
  • Seja . Então, integramos para encontrar . A integral de é , então .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Calculamos a primeira parte :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral :
A integral de é , então avaliamos de a :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função. .