Use integração por partes para calcular as seguintes integrais: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 1 até . Isso envolve um conceito chamado integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da função escolher para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, escolhemos qual parte da nossa função será e qual será . No nosso caso, vamos deixar e . A escolha de como a parte que envolve o logaritmo facilita a diferenciação, já que derivar simplifica a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral que ficou:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
Então, calculamos e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando a integral:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 até :
Calculando em :
Calculando em (sabendo que ):
Subtraindo:

Resposta

A integral é igual a .

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