Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 1 até
. Isso envolve um conceito chamado integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da função escolher para aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, escolhemos qual parte da nossa função será
e qual será
. No nosso caso, vamos deixar
e
. A escolha de
como a parte que envolve o logaritmo facilita a diferenciação, já que derivar
simplifica a expressão.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Substituindo na fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral que ficou:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
Então, calculamos
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando a integral:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 até
:
Calculando em
:
Calculando em
(sabendo que
):
Subtraindo:
Resposta
A integral
é igual a
.
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.
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.