Use integração por partes para calcular as seguintes integrais: integral1^e x(ln x)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 1 até . Isso envolve um conceito chamado integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da função escolher para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos qual parte da nossa função será e qual será . No nosso caso, vamos deixar e . A escolha de como a parte que envolve o logaritmo facilita a diferenciação, já que derivar simplifica a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx ( (ln x)^2 ) dx = 2 ln x cdot 1x dx = 2 ln xx dx e v = integral dv = integral x , dx = x^22 :

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x (ln x)^2 dx = uv - integral v , du = x^22 (ln x)^2 - integral x^22 cdot 2 ln xx dx
Simplificando a integral que ficou:
x^22 (ln x)^2 - integral x ln x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = ln x e dv = x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
du = 1x dx
Então, calculamos v = x^22 e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du = x^22 ln x - integral x^22 cdot 1x dx
Simplificando a integral:
x^22 ln x - 12 integral x , dx = x^22 ln x - 12 cdot x^22 + C = x^22 ln x - x^24 + C

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral x (ln x)^2 dx = x^22 (ln x)^2 - ( x^22 ln x - x^24 ) + C
Simplificando:
x^22 (ln x)^2 - x^22 ln x + x^24 + C

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 até [ x^22 (ln x)^2 - x^22 ln x + x^24 ]1^e :
e^22 (ln e)^2 - e^22 ln e + e^24 = e^22 (1)^2 - e^22 (1) + e^24 = e^22 - e^22 + e^24 = e^24
Calculando em 1^22 (0)^2 - 1^22 (0) + 1^24 = 0 - 0 + 14 = 14 :
e^24 - 14 = e^2 - 14
Calculando em (sabendo que ):
Subtraindo:

Resposta

A integral é igual a .

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