Avaliar as seguintes integrais trigonométricas. integral0^pi / 2 sen(4 x) sen(3 x) d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral integral0^pi / 2 sin(4x) sin(3x) , dx. Esse é um exercício de integrais trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma de cossenos.

Passo 2

Primeiro, recordamos a identidade trigonométrica:
sin(A)sin(B) = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aqui, vamos aplicar essa identidade com A = 4x e B = 3x.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
sin(4x)sin(3x) = 12 [cos(4x - 3x) - cos(4x + 3x)] = 12 [cos(x) - cos(7x)]

Passo 4

Substituímos na integral original:
integral0^pi / 2 sin(4x)sin(3x) , dx = 12 integral0^pi / 2 [cos(x) - cos(7x)] , dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
12 [ integral0^pi / 2 cos(x) , dx - integral0^pi / 2 cos(7x) , dx ]

Passo 6

Calculando as integrais:
integral cos(kx) , dx = 1k sin(kx) + C
Aplicando aos limites de integração:
integral0^pi / 2 cos(x) , dx = sin(x) |0^pi / 2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
e
integral0^pi / 2 cos(7x) , dx = 17 sin(7x) |0^pi / 2 = 17 [sin(7pi2) - sin(0)] = 17 (-1 - 0) = -17

Passo 7

Substituindo os resultados:
12 [ 1 - (-17) ] = 12 (1 + 17) = 12 (87) = 47

Resposta

47

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